Questão 4 (1,5 pts) - Calcule o volume da região sólida limitada por: x^{2}+y^{2}=9, z=0 e z= 6-x^{2}-y^{2}. Use coordenadas cilíndricas.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região sólida limitada pela superfície circular x^{2}+y^{2}=9, pelo plano z=0 e pelo paraboloide z=6 - x^{2} - y^{2}. Vamos usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), já que a região tem simetria circular.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad x^{2}+y^{2} = r^{2}.
Assim a superfície x^{2}+y^{2}=9 vira r=3, o plano continua z=0 e o paraboloide fica z = 6 - r^{2}.

Passo 3

Os limites na ordem (r,\theta,z) são
0 \le r \le 3,\quad 0 \le \theta \le 2\pi,\quad 0 \le z \le 6 - r^{2}.

Passo 4

O elemento de volume em cilíndricas é dV = r\,dz\,dr\,d\theta. Montamos a integral tripla:
V = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{3}\!\int_{0}^{6 - r^{2}} r \,dz\,dr\,d\theta.

Passo 5

Integramos primeiro em z:
\int_{0}^{6 - r^{2}} r \,dz = (6 - r^{2})\,r.
Logo
V = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{3} (6 - r^{2})\,r \,dr\,d\theta.

Passo 6

Agora integramos em r:
\int_{0}^{3}(6r - r^{3})\,dr = \Bigl[3r^{2} - \tfrac{r^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{3} = 27 - \tfrac{81}{4} = \tfrac{27}{4}.

Passo 7

Por fim integramos em \theta:
V = \int_{0}^{2\pi} \frac{27}{4}\,d\theta = 2\pi \cdot \frac{27}{4} = \frac{27\pi}{2}.

Resposta

\frac{27\pi}{2}

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