Questão 8: Considere o seguinte Problema de Valor Inicial
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=-\frac{1}{x^{3}}-\frac{y}{x} \\\ y(1)=1 \end{array}\right.
para o qual buscamos uma solução numérica aproximada no intervalo x \in[a, b]=[1,2] usando 4 subintervalos.
a) Obtenha essa solução aproximada através do Método de Euler.
b) Obtenha agora essa solução aproximada usando o Método de Taylor de 2^{a} ordem.
c) Sabendo-se que a solução analítica é dada por y(x)=\frac{1}{x^{2}}, faça uma estimativa do erro que ocorre ao aplicar o método numérico.
d) Preencha a tabela a seguir e responda. O que ocorre com o erro conforme nos afastamos da condição inicial? Justifique sua resposta.
x_{k} y_{k} (Euler) y_{k} (Taylor 2{ }^{\mathrm{a}} ordem) y\left(x_{k}\right) Valor Exato Erro (Euler) Erro (Taylor 2{ }^{\text {a }} Ordem)

Passo 1

Temos o PVI
\begin{cases} y'=-\frac{1}{x^3}-\frac{y}{x},\\\ y(1)=1, \end{cases}
no intervalo [1,2] com 4 subintervalos, logo o passo é
h=\frac{2-1}{4}=0,25.
Vamos calcular:
– pelo Método de Euler (ordem 1), usando
y_{k+1}=y_k + h\,f(x_k,y_k),
com f(x,y)=-x^{-3}-x^{-1}y.
– pelo Método de Taylor de 2ª ordem, em que
y''= \frac{4}{x^4}+\frac{2y}{x^2}
e
y_{k+1}=y_k + h\,y'_k + \frac{h^2}{2}\,y''_k.

Passo 2

Aplicando Euler em cada passo:
Para k=0, x_0=1, y_0=1,
f_0=-1-1=-2,\quad y_1=1+0,25\cdot(-2)=0,5.
Para k=1, x_1=1,25, y_1=0,5,
f_1=-\tfrac{1}{1,25^3}-\tfrac{0,5}{1,25}\approx-0,912,\quad y_2=0,5+0,25\cdot(-0,912)=0,272.
Para k=2, x_2=1,5, y_2=0,272,
f_2=-\tfrac{1}{1,5^3}-\tfrac{0,272}{1,5}\approx-0,4776,\quad y_3=0,272+0,25\cdot(-0,4776)=0,1526.
Para k=3, x_3=1,75, y_3=0,1526,
f_3=-\tfrac{1}{1,75^3}-\tfrac{0,1526}{1,75}\approx-0,2737,\quad y_4=0,1526+0,25\cdot(-0,2737)=0,0842.

Passo 3

Pelo método de Taylor 2ª ordem: em cada nó k
y''_k=\frac{4}{x_k^4}+\frac{2\,y_k}{x_k^2}, \quad y_{k+1}=y_k + h\,f_k + \frac{h^2}{2}\,y''_k.
Para k=0, x_0=1, y_0=1:
f_0=-2,\quad y''_0=6,\quad y_1=1+0,25(-2)+\tfrac{0,25^2}{2}\,6=0,6875.
Para k=1, x_1=1,25, y_1=0,6875:
f_1\approx-1,062,\quad y''_1\approx2,5184,\quad y_2=0,6875+0,25(-1,062)+0,5\cdot0,0625\cdot2,5184\approx0,5007.
Para k=2, x_2=1,5, y_2\approx0,5007:
f_2\approx-0,6301,\quad y''_2\approx1,2352,\quad y_3=0,5007+0,25(-0,6301)+0,5\cdot0,0625\cdot1,2352\approx0,3818.
Para k=3, x_3=1,75, y_3\approx0,3818:
f_3\approx-0,4049,\quad y''_3\approx0,6760,\quad y_4=0,3818+0,25(-0,4049)+0,5\cdot0,0625\cdot0,6760\approx0,3017.

Passo 4

A solução exata é y(x)=1/x^2. Calculamos os erros \lvert y_k-y(x_k)\rvert e preenchemos a tabela:
x_k y_k (Euler) y_k (Taylor 2ª) y(x_k) exato Erro (Euler) Erro (Taylor 2ª)
1,00 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000
1,25 0,5000 0,6875 0,6400 0,1400 0,0475
1,50 0,2720 0,5007 0,4444 0,1724 0,0563
1,75 0,1526 0,3818 0,3265 0,1739 0,0553
2,00 0,0842 0,3017 0,2500 0,1658 0,0517

Passo 5

Observa-se que, à medida que x_k se afasta de 1, o erro global aumenta, pois em cada passo acumula-se o erro local. O Método de Euler (ordem 1) tem erro global O(h) e acumula mais, enquanto o Método de Taylor 2ª ordem (erro global O(h^2)) mantém erro bem menor e cresce mais lentamente.

Resposta

Veja a tabela do Passo 4.

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