Questão 8: Considere o seguinte Problema de Valor Inicial
para o qual buscamos uma solução numérica aproximada no intervalo
usando 4 subintervalos.
a) Obtenha essa solução aproximada através do Método de Euler.
b) Obtenha agora essa solução aproximada usando o Método de Taylor de
ordem.
c) Sabendo-se que a solução analítica é dada por
, faça uma estimativa do erro que ocorre ao aplicar o método numérico.
d) Preencha a tabela a seguir e responda. O que ocorre com o erro conforme nos afastamos da condição inicial? Justifique sua resposta.
(Euler)
(Taylor
ordem)
Valor Exato
Erro (Euler)
Erro (Taylor
Ordem)
a) Obtenha essa solução aproximada através do Método de Euler.
b) Obtenha agora essa solução aproximada usando o Método de Taylor de
c) Sabendo-se que a solução analítica é dada por
d) Preencha a tabela a seguir e responda. O que ocorre com o erro conforme nos afastamos da condição inicial? Justifique sua resposta.
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Erro (Euler) | Erro (Taylor
|
Passo 1
Temos o PVI
no intervalo
com
subintervalos, logo o passo é
Vamos calcular:
– pelo Método de Euler (ordem 1), usando
– pelo Método de Euler (ordem 1), usando
com
.
– pelo Método de Taylor de 2ª ordem, em que
– pelo Método de Taylor de 2ª ordem, em que
e
Passo 2
Aplicando Euler em cada passo:
Para ,
,
,
Para
Para
,
,
,
Para
,
,
,
Para
,
,
,
Passo 3
Pelo método de Taylor 2ª ordem: em cada nó
Para
,
,
:
Para
,
,
:
Para
,
,
:
Para
,
,
:
Passo 4
A solução exata é
. Calculamos os erros
e preenchemos a tabela:
|
|
|
|
Erro (Euler) | Erro (Taylor 2ª) |
---|---|---|---|---|---|
1,00 | 1,0000 | 1,0000 | 1,0000 | 0,0000 | 0,0000 |
1,25 | 0,5000 | 0,6875 | 0,6400 | 0,1400 | 0,0475 |
1,50 | 0,2720 | 0,5007 | 0,4444 | 0,1724 | 0,0563 |
1,75 | 0,1526 | 0,3818 | 0,3265 | 0,1739 | 0,0553 |
2,00 | 0,0842 | 0,3017 | 0,2500 | 0,1658 | 0,0517 |
Passo 5
Observa-se que, à medida que
se afasta de
, o erro global aumenta, pois em cada passo acumula-se o erro local. O Método de Euler (ordem 1) tem erro global
e acumula mais, enquanto o Método de Taylor 2ª ordem (erro global
) mantém erro bem menor e cresce mais lentamente.
Resposta
Veja a tabela do Passo 4.