Questão 6: Considere o PVI
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=y x^{2}-y \\\ y(0)=1 \end{array}\right.
a) Encontre a solução aproximada usando o método de Euler e Taylor de ordem 2, com \mathrm{h}=0.25 e considerando \mathrm{x} \in[0,2]; b) sabendo que a solução analítica do problema é y=\exp \left(-x+\frac{x^{3}}{3}\right), coloque num mesmo gráfico a solução analítica e as soluções numéricas encontradas nos itens anteriores. Compare seus resultados.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\begin{cases} y'=y\,x^{2}-y\;,\\\ y(0)=1\;, \end{cases}
cuja solução exata é
y(x)=\exp\Bigl(-x+\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr).
Pede-se em (a) aproximar y(x) em [0,2] com passo h=0.25 pelo método de Euler explícito e pelo método de Taylor de ordem 2, e em (b) plotar ambas as soluções numéricas junto com a exata e comparar.

Passo 2

Para o método de Euler temos a fórmula de iteração
y_{n+1}=y_{n}+h\,f(x_{n},y_{n}),
onde f(x,y)=y(x^{2}-1). Montando uma tabela com x_{n}=0,0.25,\dots,2 e y_{0}=1:
\begin{array}{c|c|c} n & x_{n} & y_{n+1}=y_{n}+0.25\,y_{n}(x_{n}^{2}-1)\\hline 0 & 0.00 & y_{1}=1+0.25\cdot1\,(0-1)=0.75000\\\\ 1 & 0.25 & y_{2}=0.75+0.25\cdot0.75\,(0.0625-1)=0.57422\\\\ 2 & 0.50 & y_{3}=0.57422+0.25\cdot0.57422\,(0.25-1)=0.46655\\\\ 3 & 0.75 & y_{4}=0.46655+0.25\cdot0.46655\,(0.5625-1)=0.41555\\\\ 4 & 1.00 & y_{5}=0.41555+0.25\cdot0.41555\,(1-1)=0.41555\\\\ 5 & 1.25 & y_{6}=0.41555+0.25\cdot0.41555\,(1.5625-1)=0.47393\\\\ 6 & 1.50 & y_{7}=0.47393+0.25\cdot0.47393\,(2.25-1)=0.62203\\\\ 7 & 1.75 & y_{8}=0.62203+0.25\cdot0.62203\,(3.0625-1)=0.94276 \end{array}

Passo 3

Para o método de Taylor de ordem 2 usamos
y_{n+1}=y_{n}+h\,f(x_{n},y_{n})+\frac{h^{2}}{2}\,y''(x_{n},y_{n}),
com
y''= \frac{d}{dx}\bigl[y(x^{2}-1)\bigr] = y\bigl((x^{2}-1)^{2}+2x\bigr).
Calculando iterativamente:
\begin{array}{c|c|c|c} n & x_{n} & y_{n} & y_{n+1}\\hline 0 & 0.00 & 1.00000 & 0.78125\\\\ 1 & 0.25 & 0.78125 & 0.63183\\\\ 2 & 0.50 & 0.63183 & 0.54421\\\\ 3 & 0.75 & 0.54421 & 0.51337\\\\ 4 & 1.00 & 0.51337 & 0.54545\\\\ 5 & 1.25 & 0.54545 & 0.67016\\\\ 6 & 1.50 & 0.67016 & 0.97513\\\\ 7 & 1.75 & 0.97513 & 1.71439 \end{array}

Passo 4

A solução exata em x_{n} é
y_{\rm exato}(x_{n})=\exp\Bigl(-x_{n}+\tfrac{x_{n}^{3}}{3}\Bigr),
por exemplo y_{\rm exato}(2)=e^{2/3}\approx 1.9477. Num mesmo gráfico:
– os pontos de Euler ( \blacksquare) e de Taylor 2 ( \bullet)
– a curva contínua de y_{\rm exato}(x).
Observa-se que o método de Euler subestima fortemente (erro em x=2 \sim 1.00), enquanto a Taylor 2 segue bem de perto a curva exata (erro em x=2 \sim 0.233).

Resposta

(a) Tabelas de aproximação obtidas nos Passos 2 e 3.
(b) No gráfico, a curva exata y=\exp(-x+x^{3}/3), os pontos pelo método de Euler e os pontos pelo método de Taylor 2. O método de Taylor 2 apresenta erro muito menor que Euler ao longo de [0,2].

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