Questão 6: Considere o PVI
a) Encontre a solução aproximada usando o método de Euler e Taylor de ordem 2, com
e considerando
; b) sabendo que a solução analítica do problema é
, coloque num mesmo gráfico a solução analítica e as soluções numéricas encontradas nos itens anteriores. Compare seus resultados.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
cuja solução exata é
Pede-se em (a) aproximar
em
com passo
pelo método de Euler explícito e pelo método de Taylor de ordem
, e em (b) plotar ambas as soluções numéricas junto com a exata e comparar.
Passo 2
Para o método de Euler temos a fórmula de iteração
onde
. Montando uma tabela com
e
:
Passo 3
Para o método de Taylor de ordem
usamos
com
Calculando iterativamente:
Passo 4
A solução exata em
é
por exemplo
. Num mesmo gráfico:
– os pontos de Euler (
) e de Taylor
(
)
– a curva contínua de .
Observa-se que o método de Euler subestima fortemente (erro em
), enquanto a Taylor
segue bem de perto a curva exata (erro em
).
– a curva contínua de
Observa-se que o método de Euler subestima fortemente (erro em
Resposta
(a) Tabelas de aproximação obtidas nos Passos
e
.
(b) No gráfico, a curva exata , os pontos pelo método de Euler e os pontos pelo método de Taylor
. O método de Taylor
apresenta erro muito menor que Euler ao longo de
.
(b) No gráfico, a curva exata