Questão 3: Considere o seguinte Problema de Valor Inicial
para o qual buscamos uma solução numérica aproximada no intervalo
usando 8 subintervalos.
a) Obtenha essa solução aproximada através do Método de Euler.
b) Obtenha agora essa solução aproximada usando o Método de Taylor de
ordem.
c) Sabendo-se que a solução analítica é dada por
, preencha a tabela a seguir
(Euler)
(Taylor
ordem)
Valor Exato
Erro (Euler)
Erro (Taylor
Ordem)
d) O que ocorre com o erro para o método de Euler conforme nos afastamos da condição inicial? Justifique o motivo pelo qual ocorre o que foi observado. E o que ocorre com o Erro para o método de Taylor
ordem?
a) Obtenha essa solução aproximada através do Método de Euler.
b) Obtenha agora essa solução aproximada usando o Método de Taylor de
c) Sabendo-se que a solução analítica é dada por
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Erro (Euler) | Erro (Taylor
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Passo 1
O problema é
querendo aproximações em
com
subintervalos. Logo
e os pontos são
,
. Vamos aplicar (a) o Método de Euler explícito e (b) o Método de Taylor de
ª ordem, comparar com a solução exata
e preencher a tabela de erros.
Passo 2
Método de Euler:
Como
não depende de
, temos
Com
e
calcula-se iterativamente:
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Passo 3
Método de Taylor de
ª ordem:
onde
. Assim
Com
obtém-se:
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Passo 4
Solução exata em
:
que dá exatamente os valores da coluna do Método de Taylor (pois a equação é polinomial de grau
). Os erros são as diferenças absolutas. Preenchendo a tabela:
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Erro (Euler) | Erro (Taylor
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Passo 5
Para o Método de Euler o erro global cresce à medida que
se afasta de zero. Isso ocorre porque Euler é um método de ordem
e acumula erro a cada passo, especialmente quando a solução é côncava para baixo e os passos de reta tangente “passam por cima” do gráfico.
Para o Método de Taylor de ª ordem, o termo de correção
torna a aproximação exata nos nós, resultando em erro zero para este ODE de segundo grau.
Para o Método de Taylor de
Resposta
Veja a tabela preenchida no Passo
e as conclusões:
- O erro do método de Euler cresce de forma aproximadamente linear com
. - O método de Taylor de
ª ordem é exato neste caso (erro zero).