Questão 3: Considere o seguinte Problema de Valor Inicial
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=4-2 x \\\ y(0)=2 \end{array}\right.
para o qual buscamos uma solução numérica aproximada no intervalo x \in[a, b]=[0,2] usando 8 subintervalos.
a) Obtenha essa solução aproximada através do Método de Euler.
b) Obtenha agora essa solução aproximada usando o Método de Taylor de 2^{\text {a }} ordem.
c) Sabendo-se que a solução analítica é dada por y(x)=-x^{2}+4 x+2, preencha a tabela a seguir
x_{k} y_{k} (Euler) y_{k} (Taylor 2{ }^{\mathrm{a}} ordem) y\left(x_{k}\right) Valor Exato Erro (Euler) Erro (Taylor 2{ }^{\text {a }} Ordem)
d) O que ocorre com o erro para o método de Euler conforme nos afastamos da condição inicial? Justifique o motivo pelo qual ocorre o que foi observado. E o que ocorre com o Erro para o método de Taylor 2{ }^{a} ordem?

Passo 1

O problema é
\begin{cases} y'=4-2x,\\\ y(0)=2, \end{cases}
querendo aproximações em [0,2] com n=8 subintervalos. Logo
h=\frac{2-0}{8}=0,25,
e os pontos são x_k=0+0,25k, k=0,1,\dots,8. Vamos aplicar (a) o Método de Euler explícito e (b) o Método de Taylor de 2ª ordem, comparar com a solução exata
y(x)=-x^2+4x+2
e preencher a tabela de erros.

Passo 2

Método de Euler:
y_{k+1}=y_k+h\,f(x_k)\quad\text{onde }f(x,y)=4-2x.
Como f não depende de y, temos
y_{k+1}=y_k+0,25\,(4-2x_k).
Com y_0=2 e x_k=0,25k calcula-se iterativamente:
x_k | 0 | 0,25 | 0,5 | 0,75 | 1,0 | 1,25 | 1,5 | 1,75 | 2,0 y_k | 2 | 3 | 3,875 | 4,625 | 5,25 | 5,75 | 6,125 | 6,375 | 6,5

Passo 3

Método de Taylor de 2ª ordem:
y_{k+1}=y_k+h\,f(x_k)+\frac{h^2}{2}\,\frac{\partial f}{\partial x}(x_k),
onde \partial f/\partial x=-2. Assim
y_{k+1}=y_k+0,25\,(4-2x_k)-0,25^2.
Com y_0=2 obtém-se:
x_k | 0 | 0,25 | 0,5 | 0,75 | 1,0 | 1,25 | 1,5 | 1,75 | 2,0 y_k | 2 | 2,9375 | 3,75 | 4,4375 | 5,0 | 5,4375 | 5,75 | 5,9375 | 6,0

Passo 4

Solução exata em x_k:
y(x_k)=-x_k^2+4x_k+2,
que dá exatamente os valores da coluna do Método de Taylor (pois a equação é polinomial de grau <=2). Os erros são as diferenças absolutas. Preenchendo a tabela:
x_k y_k (Euler) y_k (Taylor 2ª ordem) y(x_k) Erro (Euler) Erro (Taylor 2ª ordem)
0 2 2 2 0 0 0,25 3 2,9375 2,9375 0,0625 0 0,5 3,875 3,75 3,75 0,125 0 0,75 4,625 4,4375 4,4375 0,1875 0 1,0 5,25 5,0 5,0 0,25 0 1,25 5,75 5,4375 5,4375 0,3125 0 1,5 6,125 5,75 5,75 0,375 0 1,75 6,375 5,9375 5,9375 0,4375 0 2,0 6,5 6,0 6,0 0,5 0

Passo 5

Para o Método de Euler o erro global cresce à medida que x_k se afasta de zero. Isso ocorre porque Euler é um método de ordem 1 e acumula erro a cada passo, especialmente quando a solução é côncava para baixo e os passos de reta tangente “passam por cima” do gráfico.
Para o Método de Taylor de 2ª ordem, o termo de correção \tfrac{h^2}{2}f_x torna a aproximação exata nos nós, resultando em erro zero para este ODE de segundo grau.

Resposta

Veja a tabela preenchida no Passo 4 e as conclusões:
  • O erro do método de Euler cresce de forma aproximadamente linear com x_k.
  • O método de Taylor de 2ª ordem é exato neste caso (erro zero).

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