(2,0) Seja \vec{F}(x, y, z)=(-z, x, 0) e seja S o hemisfério, positivamente orientado, parametrizado por \vec{r}(\theta, \varphi)=(\cos \theta \operatorname{sen} \varphi, \operatorname{sen} \theta \operatorname{sen} \varphi, \cos \varphi), com 0 \leq \theta, \varphi \leq \pi.
(a) Calcule o rotacional de \vec{F}.
(b) Use o Teorema de Stokes para calcular a integral \iint_{S} \operatorname{rot} \vec{F} \cdot d \vec{S}.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \vec F(x,y,z)=(-z,\,x,\,0)
e pede (a) o rotacional de \vec F e (b) a integral de superfície \displaystyle \iint_{S}\bigl(\nabla\times\vec F\bigr)\cdot d\vec S
onde S é o hemisfério unitário “acima” do plano z=0, orientado para fora.
Para (b) vamos aplicar o Teorema de Stokes, que diz
\iint_{S}(\nabla\times\vec F)\cdot d\vec S =\oint_{\partial S}\vec F\cdot d\vec r,
onde \partial S é a circunferência de interseção z=0,\;x^2+y^2=1, percorrida de modo que o dedo polegar da mão direita aponte para a normal de S.

Passo 2

Calculamos o rotacional
\nabla\times\vec F =\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z\\\\ -z & x & 0 \end{vmatrix} =\Bigl(\partial_y 0-\partial_z x,\;\partial_z(-z)-\partial_x0,\;\partial_x x-\partial_y(-z)\Bigr) =(0,\,-1,\,1).

Passo 3

Pela regra de Stokes, basta avaliar \displaystyle \oint_{\partial S}\vec F\cdot d\vec r.
Parametrizamos a curva \partial S no plano z=0 por
\vec r(t)=(\cos t,\;\sin t,\;0), \qquad 0\le t\le2\pi.
Então
\vec F\bigl(\vec r(t)\bigr) =\bigl(-0,\;\cos t,\;0\bigr) =(0,\cos t,0), \quad d\vec r =(-\sin t,\;\cos t,\,0)\,dt.
O produto escalar é
\vec F\cdot d\vec r =(0,\cos t,0)\cdot(-\sin t,\cos t,0)\,dt =\cos^2t\,dt.

Passo 4

Integramos de 0 a 2\pi:
\oint_{\partial S}\vec F\cdot d\vec r =\int_{0}^{2\pi}\cos^2t\,dt =\pi.

Resposta

(a) \displaystyle\nabla\times\vec F=(0,-1,1).
(b) \displaystyle\iint_{S}(\nabla\times\vec F)\cdot d\vec S=\pi.

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