(2,0) Seja \vec{F}(x, y, z)=(-z, x, 0) e seja S o hemisfério, positivamente orientado, parametrizado por \vec{r}(\theta, \varphi)=(\cos \theta \operatorname{sen} \varphi, \operatorname{sen} \theta \operatorname{sen} \varphi, \cos \varphi), com 0 \leq \theta, \varphi \leq \pi.
(a) Calcule o rotacional de \vec{F}.
(b) Use o Teorema de Stokes para calcular a integral \iint_{S} \operatorname{rot} \vec{F} \cdot d \vec{S}.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial \vec F(x,y,z)=(-z,\,x,\,0)
e pede (a) o rotacional de \vec F e (b) a integral de superfície \displaystyle \iint_{S}\bigl(\nabla\times\vec F\bigr)\cdot d\vec S
onde S é o hemisfério unitário “acima” do plano z=0, orientado para fora.
Para (b) vamos aplicar o Teorema de Stokes, que diz
\iint_{S}(\nabla\times\vec F)\cdot d\vec S =\oint_{\partial S}\vec F\cdot d\vec r,
onde \partial S é a circunferência de interseção z=0,\;x^2+y^2=1, percorrida de modo que o dedo polegar da mão direita aponte para a normal de S.
Passo 2
Calculamos o rotacional
\nabla\times\vec F =\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z\\\\ -z & x & 0 \end{vmatrix} =\Bigl(\partial_y 0-\partial_z x,\;\partial_z(-z)-\partial_x0,\;\partial_x x-\partial_y(-z)\Bigr) =(0,\,-1,\,1).
Passo 3
Pela regra de Stokes, basta avaliar \displaystyle \oint_{\partial S}\vec F\cdot d\vec r.
Parametrizamos a curva \partial S no plano z=0 por