Questão 1. Considere o seguinte sistema de ponto flutuante \operatorname{SPF}(10,3,-5,5). Represente os seguintes números neste sistema tanto por arredondamento, quanto por truncamento. E caso haja outros tipos de erros identifique:
x_{3}=-533,236894

Passo 1

O enunciado dá o sistema de ponto flutuante \operatorname{SPF}(10,3,-5,5) e pede para representar o número x_{3}=-533,236894 nesse sistema:
  • Representação por arredondamento.
  • Representação por truncamento (chop).
  • Identificar outros tipos de erro que possam ocorrer (por exemplo overflow, underflow, erro de arredondamento, etc.).
Informações relevantes fornecidas:
  • Base \beta=10.
  • Precisão p=3 (ou seja, 3 dígitos significativos na mantissa).
  • Expoentes permitidos e_{\min}=-5 e e_{\max}=5.
  • Número a representar: x_{3}=-533,236894.

Passo 2

O que significa \operatorname{SPF}(10,3,-5,5) e como é uma normalização:
  • Numa representação normalizada em base \beta=10 com precisão p=3 a mantissa tem a forma
\pm d_{0}.d_{1}d_{2}\times10^{e},
onde d_{0}\in\{1,2,\dots,9\} (o dígito mais significativo não pode ser zero) e há exatamente p=3 dígitos significativos: d_{0},d_{1},d_{2}.
  • Truncamento (chop): corta os dígitos além dos p primeiros sem arredondar.
  • Arredondamento: aproxima ao número representável mais próximo com p dígitos (em ties normalmente arredonda para o par ou para mais próximo; aqui não há tie).
  • Verificar também se o expoente resultante fica dentro do intervalo [e_{\min},e_{\max}]=[-5,5] para decidir overflow/underflow.

Passo 3

Normalizar o número dado:
  • Escrever x_{3} em forma científica normalizada (base 10):
x_{3}=-533,236894 = -5,33236894\times10^{2}.
Aqui a mantissa completa (não arredondada) é -5,33236894 e o expoente é 2, que está dentro do intervalo permitido [-5,5].

Passo 4

Aplicar o truncamento (chop) para p=3:
  • Mantissa com p=3 dígitos: pegar os primeiros três dígitos significativos de 5,33236894, ou seja 5,33.
  • Portanto a representação por truncamento é
x_{3}^{\text{(chop)}} = -5,33\times10^{2}.
  • Em forma decimal isto equivale a
x_{3}^{\text{(chop)}} = -533.

Passo 5

Aplicar o arredondamento para p=3:
  • Mantissa original: 5,33236894. Os três primeiros dígitos são 5,33 e o quarto dígito (para decidir o arredondamento) é 2.
  • Regra usual: se o dígito seguinte for \ge 5 arredonda-se o último dígito, se for <5 deixa-se igual. Aqui o dígito seguinte é 2<5, logo não há incremento.
  • Portanto a representação por arredondamento é
x_{3}^{\text{(round)}} = -5,33\times10^{2} = -533.
  • Neste caso arredondamento e truncamento deram o mesmo valor representável.

Passo 6

Calcular os erros (absoluto e relativo), que são formas importantes de identificar a perda de precisão:
  • Valor representável (ambos os métodos): x_{fl}=-533.
  • Erro absoluto:
e_{\text{abs}} = \bigl|x_{3}-x_{fl}\bigr| = \bigl|-533,236894 - (-533)\bigr| = 0,236894.
  • Erro relativo:
e_{\text{rel}} = \frac{e_{\text{abs}}}{\bigl|x_{3}\bigr|} = \frac{0,236894}{533,236894}\approx 4,4436\times10^{-4}\approx 0,00044436.

Passo 7

Identificar outros tipos de erros/condições do SPF:
  • Overflow/Underflow: o expoente necessário é 2, que satisfaz -5\le 2\le 5. Portanto não há overflow nem underflow neste caso.
  • Erro de arredondamento / truncamento: existe perda de informação do restante da mantissa (os dígitos após os 3 primeiros). Aqui ambos os métodos produziram o mesmo resultado -5,33\times10^{2}.
  • Limites teóricos:
    • Para truncamento a garantia de cota relativa de erro é \le \beta^{1-p}=10^{1-3}=10^{-2}=0,01.
    • Para arredondamento a cota é \le \tfrac{1}{2}\beta^{1-p}=\tfrac{1}{2}\cdot10^{-2}=0,005.
    • Nosso erro relativo aproximado 4,4436\times10^{-4} satisfaz ambas as cotas (é muito menor que 0,005).
  • Observação sobre números subnormais: o enunciado não menciona representação denormalizada (subnormal). Se o sistema não tiver gradativo underflow, números com expoente abaixo de e_{\min} não seriam representáveis — mas isso não acontece aqui.

Passo 8

Resumo amigável: aqui a representação corta a parte fracionária além dos três dígitos significativos, resultando em -533 seja por truncamento ou por arredondamento; há perda de precisão medida acima, mas não há overflow/underflow.

Resposta

Arredondamento: x_{3}\mapsto -5,33\times10^{2} = -533
Truncamento: x_{3}\mapsto -5,33\times10^{2} = -533
Outros erros: erro absoluto =0,236894; erro relativo \approx4,4436\times10^{-4}. Não há overflow nem underflow.

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