Questão 1. Considere o seguinte sistema de ponto flutuante \operatorname{SPF}(10,3,-5,5). Represente os seguintes números neste sistema tanto por arredondamento, quanto por truncamento. E caso haja outros tipos de erros identifique:
x_{5}=0,000000003

Passo 1

O enunciado pede que eu represente o número x_{5}=0,000000003 no sistema de ponto flutuante \operatorname{SPF}(10,3,-5,5) de duas formas: por arredondamento e por truncamento. Também pede que eu identifique outros tipos de erros que ocorram.
Informações dadas:
  • Sistema: \operatorname{SPF}(10,3,-5,5).
  • Número a representar: x_{5}=0,000000003.

Passo 2

O que significa \operatorname{SPF}(10,3,-5,5) (explicando com calma):
  • Base: 10. Isso significa que os algarismos e potências são em potência de dez.
  • Precisão (número de dígitos da mantissa): 3. Vou usar uma mantissa com exatamente três dígitos significativos.
  • Expoente mínimo: -5.
  • Expoente máximo: 5.
Forma normalizada típica (assumindo representação normalizada sem denormalizados): todo número representável (não nulo) tem a forma
\pm d_1.d_2d_3 \times 10^{e},
onde d_1\in\{1,2,\dots,9\} (ou seja, o primeiro dígito não é zero), d_2,d_3\in\{0,\dots,9\} e e satisfaz -5\le e\le 5. Aqui a mantissa tem três dígitos significativos: d_1,d_2,d_3.
Observação importante (assunção): vou assumir que o sistema é o usual IEEE-like em que não há números desnormalizados (gradual underflow) — isto é, apenas números normalizados com d_1\neq0 e expoente no intervalo dado. Se houvesse denormais, a análise muda; o enunciado não os menciona, então sigo a hipótese mais comum em exercícios introdutórios.

Passo 3

Escrever o número x_{5} em notação científica normalizada (antes de qualquer arred./trunc.):
x_{5}=0{,}000000003 = 3\times10^{-9}.
Em forma de mantissa com três dígitos isso seria
3{,}00\times10^{-9}.
Aqui a mantissa tem os três dígitos 3,0,0 e o expoente é e=-9.

Passo 4

Comparar o expoente necessário com o intervalo permitido:
  • O expoente requerido para x_{5} é e=-9.
  • O menor expoente permitido no sistema é e_{\min}=-5.
Como -9 < -5, o expoente está fora do intervalo permitido: o número é demasiado pequeno (muito próximo de zero) para ser representado como número normalizado neste sistema. Esse fenômeno chama-se underflow.

Passo 5

Consequências para arredondamento e truncamento:
  • Se o sistema não suporta denormalizados (assunção feita), qualquer número com expoente menor que -5 não pode ser representado e é “arredondado” para zero (ou seja, underflow para zero). Isso vale tanto para política de arredondamento quanto para truncamento: o resultado armazenado é 0.
  • Portanto, por arredondamento: o valor armazenado é 0.
  • Por truncamento: o valor armazenado também é 0.
Se existissem números desnormalizados no sistema, poderia haver um valor diferente de zero muito pequeno representável; como o enunciado não indica isso, não uso essa via.

Passo 6

Erro absoluto e relativo (para ver o impacto):
  • Valor armazenado: 0.
  • Erro absoluto:
\left|x_{5}-0\right| = 3\times10^{-9}.
  • Erro relativo:
\frac{\left|x_{5}-0\right|}{\left|x_{5}\right|} = \frac{3\times10^{-9}}{3\times10^{-9}} = 1,
ou seja, 100\% de erro relativo — perda total de informação do valor original.
Classificação do erro: underflow (subfluxo) para zero; consequente perda de precisão / perda total do valor (erro relativo igual a 1).

Resposta

Arredondamento: 0
Truncamento: 0
Erros identificados: underflow para zero; erro absoluto 3\times10^{-9}; erro relativo 1 (100%).

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