Questão 1. Considere o seguinte sistema de ponto flutuante
. Represente os seguintes números neste sistema tanto por arredondamento, quanto por truncamento. E caso haja outros tipos de erros identifique:
Passo 1
O enunciado pede que eu represente o número
no sistema de ponto flutuante
de duas formas: por arredondamento e por truncamento. Também pede que eu identifique outros tipos de erros que ocorram.
Informações dadas:
- Sistema:
. - Número a representar:
.
Passo 2
O que significa
(explicando com calma):
- Base:
. Isso significa que os algarismos e potências são em potência de dez. - Precisão (número de dígitos da mantissa):
. Vou usar uma mantissa com exatamente três dígitos significativos. - Expoente mínimo:
. - Expoente máximo:
.
Forma normalizada típica (assumindo representação normalizada sem denormalizados): todo número representável (não nulo) tem a forma
onde
(ou seja, o primeiro dígito não é zero),
e
satisfaz
. Aqui a mantissa tem três dígitos significativos:
.
Observação importante (assunção): vou assumir que o sistema é o usual IEEE-like em que não há números desnormalizados (gradual underflow) — isto é, apenas números normalizados com
e expoente no intervalo dado. Se houvesse denormais, a análise muda; o enunciado não os menciona, então sigo a hipótese mais comum em exercícios introdutórios.
Passo 3
Escrever o número
em notação científica normalizada (antes de qualquer arred./trunc.):
Em forma de mantissa com três dígitos isso seria
Aqui a mantissa tem os três dígitos
e o expoente é
.
Passo 4
Comparar o expoente necessário com o intervalo permitido:
- O expoente requerido para
é . - O menor expoente permitido no sistema é
.
Como
, o expoente está fora do intervalo permitido: o número é demasiado pequeno (muito próximo de zero) para ser representado como número normalizado neste sistema. Esse fenômeno chama-se underflow.
Passo 5
Consequências para arredondamento e truncamento:
- Se o sistema não suporta denormalizados (assunção feita), qualquer número com expoente menor que
não pode ser representado e é “arredondado” para zero (ou seja, underflow para zero). Isso vale tanto para política de arredondamento quanto para truncamento: o resultado armazenado é . - Portanto, por arredondamento: o valor armazenado é
. - Por truncamento: o valor armazenado também é
.
Se existissem números desnormalizados no sistema, poderia haver um valor diferente de zero muito pequeno representável; como o enunciado não indica isso, não uso essa via.
Passo 6
Erro absoluto e relativo (para ver o impacto):
- Valor armazenado:
. - Erro absoluto:
- Erro relativo:
ou seja,
de erro relativo — perda total de informação do valor original.
Classificação do erro: underflow (subfluxo) para zero; consequente perda de precisão / perda total do valor (erro relativo igual a
).
Resposta
Arredondamento:
Truncamento:
Erros identificados: underflow para zero; erro absoluto ; erro relativo
(100%).
Truncamento:
Erros identificados: underflow para zero; erro absoluto