Questão 1. Considere o seguinte sistema de ponto flutuante
. Represente os seguintes números neste sistema tanto por arredondamento, quanto por truncamento. E caso haja outros tipos de erros identifique:
Passo 1
O enunciado dá o sistema de ponto flutuante
e pede que se represente o número
neste sistema:
- Parâmetros do sistema (peguei-os do enunciado):
- base
, - número de dígitos significativos
, - menor expoente
, - maior expoente
.
- base
- O que é pedido:
- Representar
por truncamento. - Representar
por arredondamento. - Identificar outros tipos de erros que ocorram (overflow, underflow, erro de representação, etc.).
- Representar
Passo 2
Entendendo a forma normalizada que o sistema usa (explicação didática).
- Em um
normalizado, números (não nulos) são escritos como
onde
(isto é, o dígito inicial não é zero) e há exatamente
dígitos significativos
.
- Regras usadas:
- Truncamento: manter os primeiros
dígitos significativos e eliminar os restantes (sem arredondar). - Arredondamento (para o mais próximo): olhar o
-ésimo dígito; se ele for aumenta-se o -ésimo dígito em 1 (com o devido transporte), caso contrário mantém-se. (Adota-se aqui arredondamento comum “para o mais próximo”; não precisamos de regra de ties-to-even pois não há empate exato neste caso.)
- Truncamento: manter os primeiros
- Observação sobre expoentes: o expoente resultante deve ficar em
; se não couber ocorre overflow/underflow.
Passo 3
Normalizar o número dado (passo fundamental).
- Escrever
em notação científica normalizada:
Aqui o primeiro dígito significativo é
e o expoente é
, que está dentro do intervalo permitido
. Portanto não haverá overflow nem underflow por causa do expoente.
Passo 4
Aplicar truncamento com
dígitos significativos (passo a passo).
- A mantissa normalizada é
. Os três primeiros dígitos significativos são , portanto a representação por truncamento é
- Converter de volta para valor decimal:
- Calcular o erro absoluto e relativo do truncamento:
- Erro absoluto:
- Erro relativo:
Passo 5
Aplicar arredondamento com
dígitos significativos (passo a passo).
- Mantissa inicial
. Os três primeiros dígitos significativos são e o quarto dígito (o -ésimo) é . Portanto arredonda-se o terceiro dígito para , resultando em mantissa . - A representação por arredondamento é
- Converter de volta:
- Calcular o erro absoluto e relativo do arredondamento:
- Erro absoluto:
- Erro relativo:
Passo 6
Comentários sobre tipos de erros e limites teóricos (didática adicional).
- Erro de representação (aproximação): o número real
não cabe exatamente com apenas dígitos significativos, logo sempre haverá erro de representação quando truncamos/arredondamos. Esse é o erro principal aqui. - Overflow / underflow: o expoente obtido foi
, que está no intervalo . Portanto NÃO há overflow nem underflow neste caso. - Bound teórico para erro relativo:
- Para truncamento (chopping) o erro relativo máximo costuma ser menor que
. Nosso erro relativo por truncamento está dentro desse limite. - Para arredondamento o erro relativo é
unidade de arredondamento . Nosso erro relativo por arredondamento está dentro desse limite.
- Para truncamento (chopping) o erro relativo máximo costuma ser menor que
- Conclusão prática: o arredondamento deu uma aproximação mais precisa (erro relativo menor) do que o truncamento, como era de esperar.
Resposta
Arredondamento:
.
Truncamento: .
Erros e observações: erro absoluto (arred.) , erro relativo (arred.)
; erro absoluto (trunc.)
, erro relativo (trunc.)
. Não há overflow nem underflow; o erro é de representação/arreondamento.
Truncamento:
Erros e observações: erro absoluto (arred.)