Questão 1. Considere o seguinte sistema de ponto flutuante \operatorname{SPF}(10,3,-5,5). Represente os seguintes números neste sistema tanto por arredondamento, quanto por truncamento. E caso haja outros tipos de erros identifique:
x_{2}=15,1789

Passo 1

O enunciado dá o sistema de ponto flutuante \operatorname{SPF}(10,3,-5,5) e pede que se represente o número x_{2}=15,1789 neste sistema:
  • Parâmetros do sistema (peguei-os do enunciado):
    • base \beta=10,
    • número de dígitos significativos t=3,
    • menor expoente L=-5,
    • maior expoente U=5.
  • O que é pedido:
    1. Representar x_{2}=15,1789 por truncamento.
    2. Representar x_{2}=15,1789 por arredondamento.
    3. Identificar outros tipos de erros que ocorram (overflow, underflow, erro de representação, etc.).

Passo 2

Entendendo a forma normalizada que o sistema usa (explicação didática).
  • Em um \operatorname{SPF}(\beta,t,L,U) normalizado, números (não nulos) são escritos como
\pm d_0.d_1 d_2\ldots d_{t-1}\times 10^{e},
onde d_0\in\{1,2,\dots,9\} (isto é, o dígito inicial não é zero) e há exatamente t dígitos significativos d_0,d_1,\dots,d_{t-1}.
  • Regras usadas:
    • Truncamento: manter os primeiros t dígitos significativos e eliminar os restantes (sem arredondar).
    • Arredondamento (para o mais próximo): olhar o (t+1)-ésimo dígito; se ele for \ge 5 aumenta-se o t-ésimo dígito em 1 (com o devido transporte), caso contrário mantém-se. (Adota-se aqui arredondamento comum “para o mais próximo”; não precisamos de regra de ties-to-even pois não há empate exato neste caso.)
  • Observação sobre expoentes: o expoente resultante deve ficar em [L,U]=[-5,5]; se não couber ocorre overflow/underflow.

Passo 3

Normalizar o número dado (passo fundamental).
  • Escrever x_{2}=15,1789 em notação científica normalizada:
15,1789 = 1,51789\times 10^{1}.
Aqui o primeiro dígito significativo é 1 e o expoente é e=1, que está dentro do intervalo permitido [-5,5]. Portanto não haverá overflow nem underflow por causa do expoente.

Passo 4

Aplicar truncamento com t=3 dígitos significativos (passo a passo).
  • A mantissa normalizada é 1,51789\ldots. Os três primeiros dígitos significativos são 1,5,1, portanto a representação por truncamento é
\text{truncamento: }\quad 1,51\times 10^{1}.
  • Converter de volta para valor decimal:
1,51\times 10^{1} = 15,1.
  • Calcular o erro absoluto e relativo do truncamento:
    • Erro absoluto:
    \left|15,1789-15,1\right| = 0,0789.
    • Erro relativo:
    \frac{0,0789}{15,1789}\approx 0,005198\quad(\approx 5{,}198\times 10^{-3}).

Passo 5

Aplicar arredondamento com t=3 dígitos significativos (passo a passo).
  • Mantissa inicial 1,51789\ldots. Os três primeiros dígitos significativos são 1,5,1 e o quarto dígito (o (t+1)-ésimo) é 7\ge 5. Portanto arredonda-se o terceiro dígito 1 para 2, resultando em mantissa 1,52.
  • A representação por arredondamento é
\text{arredondamento: }\quad 1,52\times 10^{1}.
  • Converter de volta:
1,52\times 10^{1} = 15,2.
  • Calcular o erro absoluto e relativo do arredondamento:
    • Erro absoluto:
    \left|15,1789-15,2\right| = 0,0211.
    • Erro relativo:
    \frac{0,0211}{15,1789}\approx 0,00139\quad(\approx 1{,}39\times 10^{-3}).

Passo 6

Comentários sobre tipos de erros e limites teóricos (didática adicional).
  • Erro de representação (aproximação): o número real 15,1789 não cabe exatamente com apenas t=3 dígitos significativos, logo sempre haverá erro de representação quando truncamos/arredondamos. Esse é o erro principal aqui.
  • Overflow / underflow: o expoente obtido foi e=1, que está no intervalo [-5,5]. Portanto NÃO há overflow nem underflow neste caso.
  • Bound teórico para erro relativo:
    • Para truncamento (chopping) o erro relativo máximo costuma ser menor que \beta^{1-t}=10^{1-3}=10^{-2}=0{,}01. Nosso erro relativo por truncamento \approx 0{,}005198 está dentro desse limite.
    • Para arredondamento o erro relativo é \le unidade de arredondamento u=\tfrac{1}{2}\beta^{1-t}=\tfrac{1}{2}\cdot10^{-2}=0{,}005. Nosso erro relativo por arredondamento \approx 0{,}00139 está dentro desse limite.
  • Conclusão prática: o arredondamento deu uma aproximação mais precisa (erro relativo menor) do que o truncamento, como era de esperar.

Resposta

Arredondamento: 1,52\times 10^{1} = 15,2.
Truncamento: 1,51\times 10^{1} = 15,1.
Erros e observações: erro absoluto (arred.) =0,0211, erro relativo (arred.) \approx0,00139; erro absoluto (trunc.) =0,0789, erro relativo (trunc.) \approx0,005198. Não há overflow nem underflow; o erro é de representação/arreondamento.

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