Questão 1. Considere o seguinte sistema de ponto flutuante \operatorname{SPF}(10,3,-5,5). Represente os seguintes números neste sistema tanto por arredondamento, quanto por truncamento. E caso haja outros tipos de erros identifique:
x_{6}=87635323,937

Passo 1

Vou dizer claramente o que o enunciado deu e o que pede.
  • O sistema de ponto flutuante é \operatorname{SPF}(10,3,-5,5). Isso significa:
    • base \beta=10,
    • precisão t=3 dígitos significativos na mantissa (ou seja, a mantissa tem 3 algarismos significativos),
    • expoente mínimo E_{\min}=-5 e máximo E_{\max}=5.
  • O número a representar é x_{6}=87635323,937.
  • O enunciado pede: representar x_{6} no SPF tanto por arredondamento quanto por truncamento e identificar outros tipos de erro, se houver.

Passo 2

Colocar x_{6} em notação científica normalizada (base 10) para ver o expoente e a mantissa.
  • Escrever x_{6} como
x_{6}=8,7635323937\times 10^{7}.
Aqui a mantissa normalizada é 8,7635323937 e o expoente é 7.

Passo 3

Explicar como funciona a mantissa no sistema: com t=3 queremos apenas 3 dígitos significativos na mantissa. No formato normalizado em base 10 a mantissa tem a forma d_0.d_1d_2 com três dígitos significativos d_0,d_1,d_2.
Agora vamos obter a mantissa com truncamento e com arredondamento a t=3 dígitos.
  • Mantissa original: 8,7635323937.
  • Tomando os três primeiros dígitos significativos obtemos 8,76 (os três dígitos são 8,7,6; o quarto dígito é 3).
  • Truncamento (chopping): mantissa truncada fica 8,76, logo a representação truncada seria
8,76\times 10^{7}.
  • Arredondamento para mais próximo: o quarto dígito é 3 (menor que 5), portanto ao arredondar também obtemos mantissa 8,76. Logo a representação arredondada (antes de verificar o expoente) seria
8,76\times 10^{7}.
Observação: neste caso específico truncamento e arredondamento dão a mesma mantissa 8,76 porque o dígito seguinte é 3.

Passo 4

Verificar o intervalo de expoentes permitidos no SPF e comparar com o expoente do número.
  • O expoente do número é 7.
  • O intervalo permitido é E_{\min}=-5 até E_{\max}=5.
  • Logo 7>E_{\max}=5. Isso significa que o número está fora da faixa representável por excesso de magnitude — ocorre overflow (estouro de capacidade do expoente).
Para tornar claro que é overflow, calculemos o maior valor finito representável no SPF:
  • A maior mantissa possível com t=3 dígitos é 9,99 (dígitos 9,9,9).
  • Portanto o maior número representável é
\max = 9,99\times 10^{5}.
  • Calculemos esse valor:
9,99\times 10^{5}=999000.
  • Como x_{6}=87635323,937 é muito maior que 999000, fica evidente que x_{6} não cabe no intervalo finito do SPF.

Passo 5

Concluir sobre as representações pedidas e identificar erros.
  • Mesmo que, ao reduzir a mantissa para 3 dígitos, tivéssemos 8,76\times10^{7}, o expoente 7 continua fora do intervalo [-5,5]. Portanto não é possível armazenar x_{6} como um número finito neste SPF.
  • Em termos práticos, tanto a tentativa de representação por truncamento quanto por arredondamento resultam em overflow (estouro). Sistemas que seguem convenções modernas podem retornar um sinal de overflow e um valor infinito positivo +\infty ou sinalizarem erro; outros podem saturar para o maior número representável 9,99\times10^{5}, mas isso depende da política do sistema. O conceito matemático aqui é: representação finita não existe — overflow.
  • Outro tipo de erro que ocorreria, caso o expoente estivesse dentro do intervalo, seria o erro de arredondamento (erro de aproximação devido à redução da mantissa). No entanto, para x_{6} o erro relevante e dominante é o overflow.

Resposta

Arredondamento: overflow ( x_{6} não é representável no \operatorname{SPF}(10,3,-5,5), expoente 7>E_{\max}=5 ).
Truncamento: overflow ( x_{6} não é representável no \operatorname{SPF}(10,3,-5,5), expoente 7>E_{\max}=5 ).
Erros identificados: overflow (estouro de expoente).

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