Questão 1. Considere o seguinte sistema de ponto flutuante
. Represente os seguintes números neste sistema tanto por arredondamento, quanto por truncamento. E caso haja outros tipos de erros identifique:
Passo 1
Vou dizer claramente o que o enunciado deu e o que pede.
- O sistema de ponto flutuante é
. Isso significa: - base
, - precisão
dígitos significativos na mantissa (ou seja, a mantissa tem 3 algarismos significativos), - expoente mínimo
e máximo .
- base
- O número a representar é
. - O enunciado pede: representar
no SPF tanto por arredondamento quanto por truncamento e identificar outros tipos de erro, se houver.
Passo 2
Colocar
em notação científica normalizada (base 10) para ver o expoente e a mantissa.
- Escrever
como
Aqui a mantissa normalizada é
e o expoente é
.
Passo 3
Explicar como funciona a mantissa no sistema: com
queremos apenas 3 dígitos significativos na mantissa. No formato normalizado em base 10 a mantissa tem a forma
com três dígitos significativos
.
Agora vamos obter a mantissa com truncamento e com arredondamento a
dígitos.
- Mantissa original:
. - Tomando os três primeiros dígitos significativos obtemos
(os três dígitos são ; o quarto dígito é ). - Truncamento (chopping): mantissa truncada fica
, logo a representação truncada seria
- Arredondamento para mais próximo: o quarto dígito é
(menor que ), portanto ao arredondar também obtemos mantissa . Logo a representação arredondada (antes de verificar o expoente) seria
Observação: neste caso específico truncamento e arredondamento dão a mesma mantissa
porque o dígito seguinte é
.
Passo 4
Verificar o intervalo de expoentes permitidos no SPF e comparar com o expoente do número.
- O expoente do número é
. - O intervalo permitido é
até . - Logo
. Isso significa que o número está fora da faixa representável por excesso de magnitude — ocorre overflow (estouro de capacidade do expoente).
Para tornar claro que é overflow, calculemos o maior valor finito representável no SPF:
- A maior mantissa possível com
dígitos é (dígitos ). - Portanto o maior número representável é
- Calculemos esse valor:
- Como
é muito maior que , fica evidente que não cabe no intervalo finito do SPF.
Passo 5
Concluir sobre as representações pedidas e identificar erros.
- Mesmo que, ao reduzir a mantissa para 3 dígitos, tivéssemos
, o expoente continua fora do intervalo . Portanto não é possível armazenar como um número finito neste SPF. - Em termos práticos, tanto a tentativa de representação por truncamento quanto por arredondamento resultam em overflow (estouro). Sistemas que seguem convenções modernas podem retornar um sinal de overflow e um valor infinito positivo
ou sinalizarem erro; outros podem saturar para o maior número representável , mas isso depende da política do sistema. O conceito matemático aqui é: representação finita não existe — overflow. - Outro tipo de erro que ocorreria, caso o expoente estivesse dentro do intervalo, seria o erro de arredondamento (erro de aproximação devido à redução da mantissa). No entanto, para
o erro relevante e dominante é o overflow.
Resposta
Arredondamento: overflow (
não é representável no
, expoente
).
Truncamento: overflow ( não é representável no
, expoente
).
Erros identificados: overflow (estouro de expoente).
Truncamento: overflow (
Erros identificados: overflow (estouro de expoente).