Questão 2. Considere as seguintes afirmações.
(I) A função y=sen(x) é uma solução da equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes y^prime prime+y=0.
(II) Uma solução particular da equação diferencial y^prime-4 x^5=5-x é y(x)=23 x^6-12 x^2+5 x+7. Além disso, a solução do PVI y^prime prime+4 y=0, com y(0)=0 e y^prime(0)=1 é y(x)=12 sen(2 x).
(III) Dada a equação diferencial x^2 y^prime prime-4 x y^prime+4 y=0, temos que os valores de r para que a função f(x)=x^r seja um solução da equação são, r=1 ou r=-4.
Nestas condições, é correto afirmar que:
a) apenas (I) é verdadeira
b) apenas (II) é verdadeira
c) (I), (II) e (III) são verdadeiras
d) apenas (I) é falsa
e) a alternativa (III) é falsa
f) nenhuma das alternativas anteriores

Resposta. A alternativa correta é a letra e

Passo 1

O enunciado nos dá três afirmações sobre equações diferenciais e pede para determinar quais são verdadeiras. O conteúdo envolve:
  • Verificar se uma função satisfaz uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • Encontrar e checar uma solução particular de uma equação de primeira ordem não homogênea e resolver um PVI de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • Aplicar o método de potência y=x^r para obter a equação indicial de uma equação de Euler–Cauchy.

Passo 2

Verificamos (I): como y=sin(x), temos y''=-sin(x). Logo,
y''+y = -sin(x)+sin(x)=0,
portanto sin(x) satisfaz y''+y=0. A afirmação (I) é verdadeira.

Passo 3

Verificamos (II) em duas partes:
  1. Para a equação y' - 4x^5 = 5 - x, a proposta é
y(x)=tfrac23x^6-tfrac12 x^2+5x+7
Calculando a derivada,
y' = 4x^5 - x + 5,
então
y' - 4x^5 = (4x^5-x+5) - 4x^5 = 5 - x,
confirma que é solução particular.
  1. Para o PVI
y'' + 4y = 0, y(0)=0,;y'(0)=1,
a solução geral é
y(x)=Acos(2x)+Bsin(2x)
Impondo y(0)=A=0 e y'(x)=2Bcos(2x) y'(0)=2B=1Rightarrow B=tfrac12. Logo
y(x)=tfrac12sin(2x)
A afirmação (II) é verdadeira.

Passo 4

Verificamos (III) pela substituição y=x^r na equação de Euler–Cauchy
x^2y'' - 4xy' + 4y=0
Isso leva à equação indicial
r(r-1) - 4r + 4 = 0 Longrightarrow r^2 - 5r + 4 = 0 Longrightarrow r = 1 ou r = 4
Como a afirmação dizia r=1 ou r=-4, ela está equivocada. A afirmação (III) é falsa.

Passo 5

Concluímos que (I) e (II) são verdadeiras e (III) é falsa. Dentre as alternativas, corresponde a “a alternativa (III) é falsa”.

Resposta

e)

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