Questão 2. Considere as seguintes afirmações.
(I) A função
é uma solução da equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes
.
(II) Uma solução particular da equação diferencial
é
. Além disso, a solução do PVI
e
é
.
(III) Dada a equação diferencial
, temos que os valores de
para que a função
seja um solução da equação são,
ou
.
Nestas condições, é correto afirmar que:
a) apenas (I) é verdadeira
b) apenas (II) é verdadeira
c) (I), (II) e (III) são verdadeiras
d) apenas (I) é falsa
e) a alternativa (III) é falsa
f) nenhuma das alternativas anteriores
Resposta. A alternativa correta é a letra e
(I) A função
(II) Uma solução particular da equação diferencial
(III) Dada a equação diferencial
a) apenas (I) é verdadeira
b) apenas (II) é verdadeira
c) (I), (II) e (III) são verdadeiras
d) apenas (I) é falsa
e) a alternativa (III) é falsa
f) nenhuma das alternativas anteriores
Passo 1
O enunciado nos dá três afirmações sobre equações diferenciais e pede para determinar quais são verdadeiras. O conteúdo envolve:
- Verificar se uma função satisfaz uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
- Encontrar e checar uma solução particular de uma equação de primeira ordem não homogênea e resolver um PVI de segunda ordem com coeficientes constantes.
- Aplicar o método de potência
para obter a equação indicial de uma equação de Euler–Cauchy.
Passo 2
Verificamos (I): como
, temos
. Logo,
portanto
satisfaz
. A afirmação (I) é verdadeira.
Passo 3
Verificamos (II) em duas partes:
- Para a equação
, a proposta é
Calculando a derivada,
então
confirma que é solução particular.
- Para o PVI
a solução geral é
Impondo
e
dá
. Logo
A afirmação (II) é verdadeira.
Passo 4
Verificamos (III) pela substituição
na equação de Euler–Cauchy
Isso leva à equação indicial
Como a afirmação dizia
ou
, ela está equivocada. A afirmação (III) é falsa.
Passo 5
Concluímos que (I) e (II) são verdadeiras e (III) é falsa. Dentre as alternativas, corresponde a “a alternativa (III) é falsa”.
Resposta
e)