Questão 7. Considere as seguintes afirmações.
(I) Admitindo que y1=x é uma solução particular da equação diferencial x y^prime prime+y^prime-yx=0, podemos afirmar, usando o método de d’Alembert, que uma outra solução y2=y2(x), LI com y1, é y2=-12 x. Além disso, a solução geral da equação 2 x^2 y^prime prime-x y^prime-9 y=0, x neq 0, é y=c1 x^3+c2 x^-5 / 2.
(II) Usando o método dos coeficientes a determinar encontramos que y=c1 e^-x+c2 e^2 x+(-2 x^2+2 x- 3), c1, c2 in R, é solução geral da equação y^prime prime-y^prime-2 y=4 x^2.
(III) Usando o método de variação de parâmetros encontramos que y=c1 cos (2 x)+c2 sen(2 x)+3 cos (x)+ 32 ln (|cossec(x)-cotg(x)|) sen(2 x) é solução geral da equação y^prime prime+4 y=3 cossec(x).
Nestas condições, é correto afirmar que:
(a) (I) e (II) são verdadeiras
(d) (I) e (II) são falsas
(b) Existe apenas uma alternativa verdadeira
(c) (I), (II) e (III) são verdadeiras
(e) apenas (I) é falsa
(f) nenhuma das alternativas anteriores

Resposta. A alternativa correta é a letra b.

Passo 1

O enunciado traz três afirmações sobre soluções de equações diferenciais de segundo ordem:
(I) uso do método de d’Alembert para um tipo Euler e forma da solução geral de outra equação de Euler;
(II) uso do método dos coeficientes a determinar para resolver
y'' - y' - 2y = 4x^2
e forma geral proposta;
(III) uso do método de variação de parâmetros para
y'' + 4y = 3,csc(x)
e solução geral proposta. Vamos verificar a veracidade de cada item.

Passo 2

Para (I) a primeira equação é
x,y'' + y' - yx = 0
que, multiplicando por x, fica
x^2 y'' + x y' - y = 0
equação de Euler com indicial
r(r-1) + r - 1 = r^2 -1 = 0 Longrightarrow r = pm 1
Logo as soluções são x^1 e x^-1. O enunciado afirma y2 = -tfrac12x, mas o correto é y2 = x^-1 (constante multiplicativa pode ser absorbida em c2).
Em seguida a equação
2x^2 y'' - x y' - 9y = 0
é também de Euler com indicial
2r(r-1) - r - 9 = 2r^2 -3r -9 = 0 Longrightarrow r = 3,,-tfrac32
Logo
y = C1 x^3 + C2 x^-3/2,
não x^-5/2. Portanto (I) é falsa.

Passo 3

Para (II) a homogênea
y'' - y' - 2y = 0
tem equação característica r^2 - r -2 = 0 com raízes r=2,-1, logo
yh = c1 e^2x + c2 e^-x
Procuramos yp = ax^2 + bx + c. Então
yp'' = 2a, yp' = 2ax + b,
e
2a - (2ax+b) - 2(ax^2+bx+c) = 4x^2
Comparando coeficientes obtemos
-2a = 4, -2a-2b=0, 2a-b-2c=0
que dá a=-2, b=2, c=-3. Assim
yp = -2x^2 + 2x -3
e
y = c1 e^2x + c2 e^-x -2x^2 +2x -3,
que coincide com o enunciado (ordem de c1,c2 é irrelevante). Logo (II) é verdadeira.

Passo 4

Para (III) a homogênea
y'' + 4y = 0
tem soluções yh = C1cos(2x)+C2sin(2x). Pelo método de variação de parâmetros obtém-se um particular cuja forma é
yp = 3sin(x) + 32lnl|csc(x)-cot(x)r|;sin(2x)
O enunciado dá em vez de 3sin(x) o termo 3cos(x), o que é incompatível com o cálculo. Logo (III) é falsa.

Passo 5

Das três afirmações apenas (II) é verdadeira.

Resposta

Existe apenas uma alternativa verdadeira, isto é, (b).

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