Questão 7. Considere as seguintes afirmações.
(I) Admitindo que é uma solução particular da equação diferencial , podemos afirmar, usando o método de d’Alembert, que uma outra solução , LI com , é . Além disso, a solução geral da equação , é .
(II) Usando o método dos coeficientes a determinar encontramos que 3), , é solução geral da equação .
(III) Usando o método de variação de parâmetros encontramos que é solução geral da equação .
Nestas condições, é correto afirmar que:
(a) (I) e (II) são verdadeiras
(d) (I) e (II) são falsas
(b) Existe apenas uma alternativa verdadeira
(c) (I), (II) e (III) são verdadeiras
(e) apenas (I) é falsa
(f) nenhuma das alternativas anteriores
Resposta. A alternativa correta é a letra .
Passo 1
O enunciado traz três afirmações sobre soluções de equações diferenciais de segundo ordem:
(I) uso do método de d’Alembert para um tipo Euler e forma da solução geral de outra equação de Euler;
(II) uso do método dos coeficientes a determinar para resolver
e forma geral proposta;
(III) uso do método de variação de parâmetros para
e solução geral proposta. Vamos verificar a veracidade de cada item.
Passo 2
Para (I) a primeira equação é
que, multiplicando por , fica
equação de Euler com indicial
Logo as soluções são e . O enunciado afirma , mas o correto é (constante multiplicativa pode ser absorbida em ).
Em seguida a equação
é também de Euler com indicial
Logo
não . Portanto (I) é falsa.
Passo 3
Para (II) a homogênea
tem equação característica com raízes , logo
Procuramos . Então
e
Comparando coeficientes obtemos
que dá , , . Assim
e
que coincide com o enunciado (ordem de é irrelevante). Logo (II) é verdadeira.
Passo 4
Para (III) a homogênea
tem soluções . Pelo método de variação de parâmetros obtém-se um particular cuja forma é
O enunciado dá em vez de 3sin(x) o termo 3cos(x), o que é incompatível com o cálculo. Logo (III) é falsa.
Passo 5
Das três afirmações apenas (II) é verdadeira.
Resposta
Existe apenas uma alternativa verdadeira, isto é, (b).