Questão 1. Considere as seguintes afirmações.
(I) A EDO y^4+(y^prime prime)^5-7 x y=0 tem ordem 4 e grau 5 .
(II) A EDO linear x y^prime+2 y=4 x^2 tem ordem 1, grau 1 e não está na forma padrão.
(III) É possível transformar a equação x y^prime prime+y^prime+x=0 em uma EDO de primeira ordem, linear em u, fazendo-se a substituição y^prime=u e y^prime prime=d ud x.
(IV) Temos que y=c x^3, c in R, é solução da EDO x^3 y^prime prime prime+x^2 y^prime prime-3 x y^prime-3 y=0.
(V) O número de constantes na solução geral de uma EDO é igual a ordem desta EDO.
(VI) Dizemos que a função f(x, y) é homogênea de grau zero, se para todo lambda in R, vale a relação f(lambda x, lambda y)=f(x, y). Além disso, dizemos também que uma equação diferencial na forma y^prime=f(x, y) é homogênea, se f(x, y) é uma função homogênea de grau zero.
(VII) A função y1(x)=3^-2 x é solução da equação diferencial y^prime prime-4 y=0.
(VIII) A solução geral da equação exata e^y d x+(x e^y-2 y) d y=0 é dada implicitamente por x e^y-y^2=C, C in R.
(IX) A equação y^prime-2 x-3 y-13 x+y-2=0 não é separável, mas, fazendo substituições convenientes, é possível transformá-la em uma equação de variáveis separáveis. A equação y^prime-y^2 x e^3 x+4 y=0 também não é separável.
(X) Podemos afirmar que um problema de valor inicial (PVI) y^prime=f(x, y), y(x0)=y0 sempre tem solução única.
A alternativa que contém a sequência correta é:
(A) FFFFFFFFFFV
(B) F V V V V V V V V V V
(C) F V V V V V V V V F F
(D) FVFVVVVFFFF

Passo 1

O enunciado traz dez afirmações sobre equações diferenciais ordinárias (EDOs) envolvendo conceitos de ordem, grau, forma padrão, transformações de ordem, solução de EDOs lineares, número de constantes na solução geral, homogeneidade, testes de solução, exatidão, separabilidade e existência/uniqueness. Vamos avaliar cada afirmação uma a uma.

Passo 2

Afirmação (I):
A EDO
y^4 + l(y''r)^5 - 7x,y = 0
tem derivada de maior ordem y'', logo ordem 2, não 4. É polinomial em y'' de grau 5, mas a ordem está errada.
Portanto (I) é falsa.
Afirmação (II):
A EDO
x,y' + 2y = 4x^2
é de ordem 1 (aparece só y'), polinomial em y' de grau 1, e não está na forma padrão y' + P(x),y = Q(x) (é preciso dividir por x).
Portanto (II) é verdadeira.

Passo 3

Afirmação (III):
Em
x,y'' + y' + x = 0
fazendo u = y' e y'' = du/dx, obtemos
x,dudx + u + x = 0,
que é uma EDO de primeira ordem linear em u.
Logo (III) é verdadeira.
Afirmação (IV):
Teste y = c,x^3 em
x^3y''' + x^2y'' - 3x,y' - 3y = 0
Calculando y'=3c x^2,,y''=6c x,,y'''=6c e substituindo, o somatório de termos em c,x^3 é zero.
Logo (IV) é verdadeira.

Passo 4

Afirmação (V):
Em geral, a solução geral de uma EDO de ordem n contém n constantes arbitrárias.
Portanto (V) é verdadeira.
Afirmação (VI):
Uma função f(x,y) é homogênea de grau zero se
f(lambda x,lambda y)=f(x,y) forall,lambda
E uma EDO y'=f(x,y) é dita homogênea nesse sentido se f o for.
Logo (VI) é verdadeira.

Passo 5

Afirmação (VII):
y1(x)=3^-2x=e^-2xln3. Calcula-se
y''=4(ln3)^2,y,
logo
y'' - 4y = 4l((ln3)^2-1r),yneq0
pois ln3neqpm1.
Portanto (VII) é falsa.

Passo 6

Afirmação (VIII):
Para
e^y,dx + l(xe^y-2yr),dy = 0
verifica-se exatidão e encontra-se potencial
phi(x,y)=x e^y-y^2.
A solução implícita é
phi(x,y)=Ciff x e^y-y^2=C
Logo (VIII) é verdadeira.

Passo 7

Afirmação (IX):
1)
y'=2x-3y-13x+y-2 não é separável, mas é do tipo linéar-afim em x,y e, por mudança de variáveis apropriada, torna-se separável.
2)
y' - y^2x e^3x+4y=0 pode ser reescrita como
dydx=x,y^2e^3x+4y
e, de fato, separa-se em
dyy^2e^4y = x,e^3x,dx
Logo a segunda é separável, contrariando a afirmação de que não é.
Portanto (IX) é falsa.

Passo 8

Afirmação (X):
O Teorema de Picard-Lindel"of garante existência e unicidade se f(x,y) satisfaz certas condições (continuidade e Lipschitz em y). Mas não vale para todo f arbitrário.
Logo (X) é falsa.

Passo 9

Reunindo os resultados:
(I) F
(II) V
(III) V
(IV) V
(V) V
(VI) V
(VII) F
(VIII) V
(IX) F
(X) F

Resposta

F V V V V V F V F F

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