Questão 1. Considere as seguintes afirmações.
(I) A EDO
tem ordem 4 e grau 5 .
(II) A EDO linear
tem ordem 1, grau 1 e não está na forma padrão.
(III) É possível transformar a equação
em uma EDO de primeira ordem, linear em
, fazendo-se a substituição
e
.
(IV) Temos que
, é solução da EDO
.
(V) O número de constantes na solução geral de uma EDO é igual a ordem desta EDO.
(VI) Dizemos que a função
é homogênea de grau zero, se para todo
, vale a relação
. Além disso, dizemos também que uma equação diferencial na forma
é homogênea, se
é uma função homogênea de grau zero.
(VII) A função
é solução da equação diferencial
.
(VIII) A solução geral da equação exata
é dada implicitamente por
,
.
(IX) A equação
não é separável, mas, fazendo substituições convenientes, é possível transformá-la em uma equação de variáveis separáveis. A equação
também não é separável.
(X) Podemos afirmar que um problema de valor inicial
sempre tem solução única.
A alternativa que contém a sequência correta é:
(A) FFFFFFFFFFV
(B)
(C)
(D) FVFVVVVFFFF
(I) A EDO
(II) A EDO linear
(III) É possível transformar a equação
(IV) Temos que
(V) O número de constantes na solução geral de uma EDO é igual a ordem desta EDO.
(VI) Dizemos que a função
(VII) A função
(VIII) A solução geral da equação exata
(IX) A equação
(X) Podemos afirmar que um problema de valor inicial
(A) FFFFFFFFFFV
(B)
(C)
(D) FVFVVVVFFFF
Passo 1
O enunciado traz dez afirmações sobre equações diferenciais ordinárias (EDOs) envolvendo conceitos de ordem, grau, forma padrão, transformações de ordem, solução de EDOs lineares, número de constantes na solução geral, homogeneidade, testes de solução, exatidão, separabilidade e existência/uniqueness. Vamos avaliar cada afirmação uma a uma.
Passo 2
Afirmação (I):
A EDO
A EDO
tem derivada de maior ordem
, logo ordem
, não
. É polinomial em
de grau
, mas a ordem está errada.
Portanto (I) é falsa.
Portanto (I) é falsa.
Afirmação (II):
A EDO
A EDO
é de ordem
(aparece só
), polinomial em
de grau
, e não está na forma padrão
(é preciso dividir por
).
Portanto (II) é verdadeira.
Portanto (II) é verdadeira.
Passo 3
Afirmação (III):
Em
Em
fazendo
e
, obtemos
que é uma EDO de primeira ordem linear em
.
Logo (III) é verdadeira.
Logo (III) é verdadeira.
Afirmação (IV):
Teste em
Teste
Calculando
e substituindo, o somatório de termos em
é zero.
Logo (IV) é verdadeira.
Logo (IV) é verdadeira.
Passo 4
Afirmação (V):
Em geral, a solução geral de uma EDO de ordem contém
constantes arbitrárias.
Portanto (V) é verdadeira.
Em geral, a solução geral de uma EDO de ordem
Portanto (V) é verdadeira.
Afirmação (VI):
Uma função é homogênea de grau zero se
Uma função
E uma EDO
é dita homogênea nesse sentido se
o for.
Logo (VI) é verdadeira.
Logo (VI) é verdadeira.
Passo 5
Afirmação (VII):
. Calcula-se
logo
pois
.
Portanto (VII) é falsa.
Portanto (VII) é falsa.
Passo 6
Afirmação (VIII):
Para
Para
verifica-se exatidão e encontra-se potencial
.
A solução implícita é
A solução implícita é
Logo (VIII) é verdadeira.
Passo 7
Afirmação (IX):
)
não é separável, mas é do tipo linéar-afim em
e, por mudança de variáveis apropriada, torna-se separável.
)
pode ser reescrita como
e, de fato, separa-se em
Logo a segunda é separável, contrariando a afirmação de que não é.
Portanto (IX) é falsa.
Portanto (IX) é falsa.
Passo 8
Afirmação (X):
O Teorema de Picard-Lindel"of garante existência e unicidade se satisfaz certas condições (continuidade e Lipschitz em
). Mas não vale para todo
arbitrário.
Logo (X) é falsa.
O Teorema de Picard-Lindel"of garante existência e unicidade se
Logo (X) é falsa.
Passo 9
Reunindo os resultados:
(I) F
(II) V
(III) V
(IV) V
(V) V
(VI) V
(VII) F
(VIII) V
(IX) F
(X) F
(II) V
(III) V
(IV) V
(V) V
(VI) V
(VII) F
(VIII) V
(IX) F
(X) F
Resposta
F V V V V V F V F F