Use a Transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial:
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A gente tem a seguinte equação:
com as condições iniciais [y(0) = 0) e
. A função
é definida por:
Vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace nas duas partes da equação e resolver para . Depois, fazemos a Transformada Inversa para achar
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
-
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) -
Ly' = s Y(s) - y(0) -
Ly = Y(s)
Como
y(0) = 0 e
y'(0) = 0 , isso simplifica as expressões:
E para o lado direito, precisamos transformar
f(t) . A função
f(t) pode ser escrita usando a função degrau unitário
u(t) :
Então, a Transformada de Laplace de
f(t) é:
Passo 3
Agora, substituímos tudo na equação transformada:
Podemos fatorar
Y(s) :
Então, isolando
Y(s) :
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão para facilitar a Transformada Inversa. Podemos fatorar o denominador quadrático:
Então:
Vamos separar
Y(s) em duas frações:
Passo 5
Para achar
y(t) , precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace de cada termo separadamente. Vamos chamar:
Então:
Passo 6
Primeiro, vamos resolver
L^-1Y1(s) . Para isso, usamos frações parciais:
Resolvendo para
A, B, C , encontramos:
Então:
Agora, aplicando a Transformada Inversa:
Passo 7
Agora, vamos resolver
L^-1Y2(s) . Observamos que
Y2(s) inclui um termo
e^-s , que indica um deslocamento na função.
Usando a propriedade de atraso:
Aqui,
a = 1 , então:
Utilizando o resultado anterior para
Y1(s) , temos:
Resposta
Juntando tudo, a solução da equação diferencial é:
Isso representa a solução completa para
y(t) considerando as condições iniciais e a função
f(t) dada.