Use a Transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial:
y^prime prime+2 y^prime+2 y=f(t), y(0)=0, y^prime(0)=0,
f(t)=ccle^t, & se & 0 <= t<1 0, & se & t >= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A gente tem a seguinte equação:
com as condições iniciais [y(0) = 0) e . A função é definida por:
Vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace nas duas partes da equação e resolver para . Depois, fazemos a Transformada Inversa para achar .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
  • Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
  • Ly' = s Y(s) - y(0)
  • Ly = Y(s)
Como y(0) = 0 e y'(0) = 0 , isso simplifica as expressões:
Ly'' = s^2 Y(s)
L2y' = 2s Y(s)
L2y = 2 Y(s)
E para o lado direito, precisamos transformar f(t) . A função f(t) pode ser escrita usando a função degrau unitário u(t) :
f(t) = e^t [u(t) - u(t - 1)]
Então, a Transformada de Laplace de f(t) é:
Lf(t) = 1s - 1 - e^-ss - 1

Passo 3

Agora, substituímos tudo na equação transformada:
s^2 Y(s) + 2s Y(s) + 2 Y(s) = 1s - 1 - e^-ss - 1
Podemos fatorar Y(s) :
Y(s) (s^2 + 2s + 2) = 1 - e^-ss - 1
Então, isolando Y(s) :
Y(s) = 1 - e^-s(s - 1)(s^2 + 2s + 2)

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão para facilitar a Transformada Inversa. Podemos fatorar o denominador quadrático:
s^2 + 2s + 2 = (s + 1)^2 + 1
Então:
Y(s) = 1 - e^-s(s - 1)((s + 1)^2 + 1)
Vamos separar Y(s) em duas frações:
Y(s) = 1(s - 1)((s + 1)^2 + 1) - e^-s(s - 1)((s + 1)^2 + 1)

Passo 5

Para achar y(t) , precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace de cada termo separadamente. Vamos chamar:
Y1(s) = 1(s - 1)((s + 1)^2 + 1)
Y2(s) = e^-s(s - 1)((s + 1)^2 + 1)
Então:
y(t) = L^-1Y1(s) - L^-1Y2(s)

Passo 6

Primeiro, vamos resolver L^-1Y1(s) . Para isso, usamos frações parciais:
1(s - 1)((s + 1)^2 + 1) = As - 1 + Bs + C(s + 1)^2 + 1
Resolvendo para A, B, C , encontramos:
A = 14, B = -14, C = 12
Então:
Y1(s) = 14 cdot 1s - 1 - 14 cdot s(s + 1)^2 + 1 + 12 cdot 1(s + 1)^2 + 1
Agora, aplicando a Transformada Inversa:
L^-1Y1(s) = 14 e^t - 14 e^-t cos(t) + 12 e^-t sin(t)

Passo 7

Agora, vamos resolver L^-1Y2(s) . Observamos que Y2(s) inclui um termo e^-s , que indica um deslocamento na função.
Usando a propriedade de atraso:
L^-1e^-as F(s) = u(t - a) f(t - a)
Aqui, a = 1 , então:
L^-1Y2(s) = u(t - 1) cdot L^-11(s - 1)((s + 1)^2 + 1)t = t - 1
Utilizando o resultado anterior para Y1(s) , temos:
L^-1Y2(s) = u(t - 1) ( 14 e^t - 1 - 14 e^-(t - 1) cos(t - 1) + 12 e^-(t - 1) sin(t - 1) )

Resposta

Juntando tudo, a solução da equação diferencial é:
y(t) = 14 e^t - 14 e^-t cos(t) + 12 e^-t sin(t) - u(t - 1) ( 14 e^t - 1 - 14 e^-(t - 1) cos(t - 1) + 12 e^-(t - 1) sin(t - 1) )
Isso representa a solução completa para y(t) considerando as condições iniciais e a função f(t) dada.

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