Use a Transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial:
y^prime prime+4 y=f(t), y(0)=0, y^prime(0)=0 com f(t)=lll0, & se & 0 <= t<pi 2, & se & pi <= t<3 pi 0, & se & t >= 3 pi

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial usando a Transformada de Laplace:
y'' + 4y = f(t), y(0)=0, y'(0)=0,
onde
f(t)= 0, & 0 <= t < pi, 2, & pi <= t < 3pi, 0, & t >= 3pi
O conteúdo é transformar a EDO e o termo forçante em funções de Laplace, resolver algebricamente e depois inverter usando o teorema do deslocamento em t.

Passo 2

Expressamos f(t) em termos da função degrau de Heaviside u(t). Como f(t) é 2 entre pi e 3pi e zero fora, temos
f(t)=2l[u(t-pi)-u(t-3pi)r]

Passo 3

Aplicando Transformada de Laplace em ambos os lados de
y'' + 4y = f(t),
com y(0)=0 e y'(0)=0, obtemos
Ly'' + 4, Ly = Lf(t) ;Longrightarrow; l(s^2+4r),Y(s) = 2e^-pi s-e^-3pi ss
Logo
Y(s)=2l(e^-pi s-e^-3pi sr)s,(s^2+4)

Passo 4

Para inverter usaremos o teorema do deslocamento. Note que
Y(s) =2l[e^-pi sG(s)-e^-3pi sG(s)r], G(s)=1s(s^2+4)
Portanto
y(t) =2l[u(t-pi),g(t-pi);-;u(t-3pi),g(t-3pi)r],
onde g(t)= L^-1G(s).

Passo 5

Calculamos g(t) por frações parciais:
1s(s^2+4) =As+Bss^2+4,
com A+B=0 e 4A=1, dá A=tfrac14, B=-tfrac14. Assim
G(s)=14l(1s-ss^2+4r) Longrightarrow g(t)=14l(1-cos(2t)r)

Passo 6

Voltando a y(t):
y(t) =12l[u(t-pi)l(1-cosl(2(t-pi)r)r) ; - ; u(t-3pi)l(1-cosl(2(t-3pi)r)r)r]
Em forma de trechos:
y(t)= 0, & 0<= t<pi,[6pt] dfrac12l[1-cosl(2(t-pi)r)r], & pi<= t<3pi,[8pt] dfrac12l[cosl(2(t-3pi)r)-cosl(2(t-pi)r)r], & t>= 3pi ]

Resposta

y(t) =12l[u(t-pi)l(1-cos(2(t-pi))r) ;-; u(t-3pi)l(1-cos(2(t-3pi))r)r]

Exercícios relacionados