Questão 3 Considere a transformação T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} definida por
T(x, y)=(x-y, x+y)
or
(a) Determine a matriz de T da base canônica para base canônica.
(b) Calcule T^{-1}(2,-1).

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 dada por
T(x,y) = (\,x - y,\;x + y\,).
O que precisamos:
– (a) encontrar a matriz de T na base canônica de \mathbb{R}^2.
– (b) calcular o vetor (x,y)=T^{-1}(2,-1).

Passo 2

Para achar a matriz de T na base canônica, lembramos que as colunas são T(e_1) e T(e_2), onde
e_1 = (1,0),\quad e_2=(0,1).
Calculamos
T(e_1)=T(1,0) = (1-0,\;1+0) = (1,1),
T(e_2)=T(0,1) = (0-1,\;0+1) = (-1,1).
Logo a matriz de T na base canônica é
A = \begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para obter T^{-1}, podemos inverter a matriz A. Primeiro calculamos o determinante:
\det(A) = 1\cdot1 - (-1)\cdot1 = 2.
Assim
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ -1 & 1 \end{pmatrix}.
Isso corresponde à fórmula fechada
T^{-1}(u,v) = \Bigl(\tfrac{u+v}{2},\;\tfrac{v-u}{2}\Bigr).

Passo 4

Agora aplicamos T^{-1} ao vetor (2,-1):
x = \frac{2 + (-1)}{2} = \frac{1}{2}, \quad y = \frac{-1 - 2}{2} = -\frac{3}{2}.

Resposta

(a) \displaystyle \begin{pmatrix}1 & -1\\\ 1 & 1\end{pmatrix}
(b) \displaystyle T^{-1}(2,-1)=\bigl(\tfrac{1}{2},\,-\tfrac{3}{2}\bigr).

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