(Valor: 1,5) Calcule integral duplaR(2 x-y) d A onde R é a região do primeiro quadrante entre os círculos, com centro na origem, com raios 1 e 3 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaR(2x - y),dA
onde R é a região no primeiro quadrante entre os círculos de raios 1 e 3, centrados na origem.
Conteúdo envolvido: mudança para coordenadas polares, uso do Jacobiano e separação de variáveis.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta
A região R em polares é
1 <= r <= 3, 0 <= theta <= tfracpi2

Passo 3

Substituindo o integrando e o Jacobiano,
2x - y = 2rcostheta - rsintheta = rl(2costheta - sinthetar),
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(2x - y),dA = rl(2costheta - sinthetar)cdot r,dr,dtheta = r^2l(2costheta - sinthetar),dr,dtheta

Passo 4

Escrevendo a integral e separando as variáveis:
integral duplaR(2x - y),dA = integral0^pi2integral1^3 r^2l(2costheta - sinthetar),dr,dtheta = l(integral1^3r^2,drr);l(integral0^pi2l(2costheta - sinthetar),dthetar)
Calculemos primeiro
integral1^3r^2,dr =[r^33]1^3 =27-13 =263

Passo 5

Agora a parte angular:
integral0^pi2l(2costheta - sinthetar),dtheta =2integral0^pi2costheta,dtheta -integral0^pi2sintheta,dtheta
Temos
2integral0^pi2costheta,dtheta =2l[sinthetar]0^pi2 =2(1-0)=2,
integral0^pi2sintheta,dtheta =l[-costhetar]0^pi2 =-(0-1)=1,
então
2 - 1 = 1

Resposta

integral duplaR(2x - y),dA = 263

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