Questão 9. Considere as seguintes séries:
(i)
,
(ii)
,
(iii)
.
Assinale a alternativa correta.
A (i) diverge, (ii) converge, (iii) converge.
B (i) converge, (ii) converge, (iii) diverge.
C (i) converge, (ii) diverge, (iii) converge.
D Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
(i) diverge, (ii) converge, (iii) diverge.
(i)
(ii)
(iii)
A (i) diverge, (ii) converge, (iii) converge.
B (i) converge, (ii) converge, (iii) diverge.
C (i) converge, (ii) diverge, (iii) converge.
D Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
(i) diverge, (ii) converge, (iii) diverge.
Passo 1
O enunciado apresenta três séries infinitas
(i) ,
(ii) ,
(iii) ,
e pede para determinar quais convergem ou divergem. Vamos usar expansões para argumentos pequenos e o teste da comparação com séries-p.
(i)
(ii)
(iii)
e pede para determinar quais convergem ou divergem. Vamos usar expansões para argumentos pequenos e o teste da comparação com séries-p.
Passo 2
Para (i), quando
vale
. Com
grande
temos
Pelo teste de comparação limite,
logo a série se comporta como
, que diverge.
Passo 3
Para (ii), quando
vale
. Com
obtemos
Pelo teste de comparação limite,
logo a série se comporta como
, que converge.
Passo 4
Para (iii), combinamos o resultado de (ii) com raiz quadrada:
Pelo teste de comparação limite,
logo a série se comporta como
, que diverge.
Passo 5
Concluímos:
(i) diverge, (ii) converge, (iii) diverge. Nenhuma das alternativas A, B ou C coincide com esse resultado.
(i) diverge, (ii) converge, (iii) diverge. Nenhuma das alternativas A, B ou C coincide com esse resultado.
Resposta
D