Questão 9. Considere as seguintes séries:
(i) \sum_{n=1}^{\infty} \sin \left(\frac{1}{n}\right),
(ii) \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos \left(\frac{1}{n}\right)\right),
(iii) \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{1-\cos \left(\frac{1}{n}\right)}.
Assinale a alternativa correta.
A (i) diverge, (ii) converge, (iii) converge.
B (i) converge, (ii) converge, (iii) diverge.
C (i) converge, (ii) diverge, (iii) converge.
D Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
(i) diverge, (ii) converge, (iii) diverge.

Passo 1

O enunciado apresenta três séries infinitas
(i) \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \sin\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr),
(ii) \displaystyle \sum_{n=1}^\infty\bigl(1-\cos\!\tfrac{1}{n}\bigr),
(iii) \displaystyle \sum_{n=1}^\infty\sqrt{\,1-\cos\!\tfrac{1}{n}\,},
e pede para determinar quais convergem ou divergem. Vamos usar expansões para argumentos pequenos e o teste da comparação com séries-p.

Passo 2

Para (i), quando x\to0 vale \sin x = x + O(x^3). Com x=1/n grande n temos
\sin\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)\sim \tfrac{1}{n}.
Pelo teste de comparação limite,
\lim_{n\to\infty}\frac{\sin(1/n)}{1/n}=1\neq0,
logo a série se comporta como \sum1/n, que diverge.

Passo 3

Para (ii), quando x\to0 vale \cos x = 1 - \tfrac{x^2}{2} + O(x^4). Com x=1/n obtemos
1-\cos\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)\sim \tfrac{1}{2n^2}.
Pelo teste de comparação limite,
\lim_{n\to\infty}\frac{\,1-\cos(1/n)\,}{1/n^2}=\tfrac12\neq0,
logo a série se comporta como \sum1/n^2, que converge.

Passo 4

Para (iii), combinamos o resultado de (ii) com raiz quadrada:
\sqrt{\,1-\cos(1/n)\,}\sim \sqrt{\tfrac{1}{2n^2}}=\tfrac{1}{\sqrt2\,n}.
Pelo teste de comparação limite,
\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{\,1-\cos(1/n)\,}}{1/n}=\tfrac1{\sqrt2}\neq0,
logo a série se comporta como \sum1/n, que diverge.

Passo 5

Concluímos:
(i) diverge, (ii) converge, (iii) diverge. Nenhuma das alternativas A, B ou C coincide com esse resultado.

Resposta

D

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