Questão 6. Seja \left(a_{n}\right) uma sequência numérica satisfazendo
\left|a_{n}-\left(\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}+\frac{3 n^{2}+1}{6 n^{2}+5 n-1}\right)\right|<\operatorname{sen}\left(\frac{n^{3}-1}{n^{4}+2 n-1}\right)
para todo n>1. Escolha uma das seguintes alternativas para sequência \left(a_{n}\right).
( a_{n} ) converge para \frac{1}{2}.
B \left(a_{n}\right) diverge.
C \left(a_{n}\right) diverge para +\infty.
D Não se pode afirmar nada sobre a convergência ou divergência da sequência \left(a_{n}\right).
E \left(a_{n}\right) converge para 1.

Passo 1

O enunciado nos dá uma sequência \bigl(a_{n}\bigr) tal que, para todo n>1, vale
\biggl|\,a_{n}-\Bigl(\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}+\frac{3n^{2}+1}{6n^{2}+5n-1}\Bigr)\biggr| <\operatorname{sen}\!\biggl(\frac{n^{3}-1}{n^{4}+2n-1}\biggr).
O objetivo é determinar o limite de \bigl(a_{n}\bigr), usando limites de funções elementares e uma espécie de princípio do confronto.

Passo 2

Definimos
b_{n} = \frac{(-1)^{n}}{n^{2}} + \frac{3n^{2}+1}{6n^{2}+5n-1}.
Observamos que \frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\to0 quando n\to\infty e
\frac{3n^{2}+1}{6n^{2}+5n-1} =\frac{3+\tfrac{1}{n^{2}}}{6+\tfrac{5}{n}-\tfrac{1}{n^{2}}} \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;\frac{3}{6}=\frac12.
Logo b_{n}\to\frac12.

Passo 3

Analisamos o lado direito da desigualdade:
\operatorname{sen}\!\biggl(\frac{n^{3}-1}{n^{4}+2n-1}\biggr).
Como
\frac{n^{3}-1}{n^{4}+2n-1} =\frac{1}{n}\,\frac{1-\tfrac{1}{n^{3}}}{1+\tfrac{2}{n^{3}}-\tfrac{1}{n^{4}}} \;\sim\;\frac{1}{n} \quad(\text{para }n\to\infty),
segue que aquele argumento tende a 0, e portanto
\operatorname{sen}\!\biggl(\frac{n^{3}-1}{n^{4}+2n-1}\biggr)\xrightarrow[n\to\infty]{}0.

Passo 4

Como \bigl|a_{n}-b_{n}\bigr| é menor que uma quantidade que tende a zero, temos a_{n}-b_{n}\to0, ou seja, a_{n} e b_{n} têm o mesmo limite. Assim
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}b_{n} =\frac12.

Resposta

A

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