Questão 7. Sejam S_{1}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n!)^{2}}{2^{n^{2}}} e S_{2}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^{n^{2}}}{(n!)^{2}}. Assinale a alternativa correta:
A S_{1} e S_{2} convergem.
B S_{1} diverge e S_{2} converge.
C Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
  • S_{1} converge e S_{2} diverge.
E S_{1} e S_{2} divergem.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência de duas séries infinitas:
S_{1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n!)^{2}}{2^{n^{2}}} \quad\text{e}\quad S_{2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^{n^{2}}}{(n!)^{2}}.
O conteúdo aqui é teste da razão (ou razão de Cauchy) para séries de termos positivos.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão a S_{1}. Defina
a_{n} = \frac{(n!)^{2}}{2^{n^{2}}}.
Então
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{((n+1)!)^{2}}{2^{(n+1)^{2}}}\,\frac{2^{n^{2}}}{(n!)^{2}} = (n+1)^{2}\,2^{\,n^{2} - (n+1)^{2}} = \frac{(n+1)^{2}}{2^{2n+1}}.
Como
\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{2}}{2^{2n+1}} = 0 < 1,
a série S_{1} converge absolutamente.

Passo 3

Agora para S_{2}, defina
b_{n} = \frac{3^{n^{2}}}{(n!)^{2}}.
Temos
\frac{b_{n+1}}{b_{n}} = \frac{3^{(n+1)^{2}}}{((n+1)!)^{2}}\, \frac{(n!)^{2}}{3^{n^{2}}} = \frac{3^{2n+1}}{(n+1)^{2}}.
Como
\lim_{n\to\infty}\frac{3^{2n+1}}{(n+1)^{2}} = +\infty > 1,
os termos não vão a zero e o teste da razão indica divergência de S_{2}.

Resposta

(D) S_{1} converge e S_{2} diverge.

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