Sejam S_{1}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt[3]{n^{2}+1}} e S_{2}= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt[3]{n^{4}+1}}. Assinale a alternativa correta:
A S_{1} e S_{2} são condicionalmente convergentes.
B S_{1} absolutamente e S_{2} condicionalmente convergentes.
C Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
D S_{1} e S_{2} são absolutamente convergentes.
S_{1} condicionalmente e S_{2} absolutamente convergentes.

Passo 1

O enunciado apresenta duas séries alternadas
S_{1}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt[3]{n^{2}+1}} \quad\text{e}\quad S_{2}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt[3]{n^{4}+1}}
e pede para classificar a convergência (absoluta ou condicional). Vamos usar o Teste de Leibniz para séries alternadas e o Teste da série-p para a convergência absoluta.

Passo 2

Analisando S_{1}: definimos o termo positivo
a_{n} = \frac{1}{\sqrt[3]{n^{2}+1}}.
Para aplicar o Teste de Leibniz, observamos que
  1. \{a_{n}\} é decrescente a partir de algum n, pois n\mapsto(n^{2}+1)^{-1/3} decresce.
  2. \lim_{n\to\infty}a_{n}=0, já que a_{n}\sim n^{-2/3}.
Logo S_{1} converge condicionalmente. Para a convergência absoluta, comparamos
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n} \quad\text{com}\quad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2/3}},
e como 2/3\le1, essa série-p diverge, implicando que \sum|(-1)^{n}a_{n}| diverge.

Passo 3

Analisando S_{2}: o termo positivo é
b_{n} = \frac{1}{\sqrt[3]{n^{4}+1}},
e para n grande temos b_{n}\sim n^{-4/3}. Como 4/3>1, a série-p
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{4/3}}
converge. Pelo Teste da Comparação Limite, \sum|(-1)^{n}b_{n}| também converge, logo S_{2} é absolutamente convergente.

Resposta

C Nenhuma das outras alternativas é verdadeira, pois S_{1} é condicionalmente convergente e S_{2} é absolutamente convergente.

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