Como sabemos, para qualquer k \in \mathbb{R}, os pontos (x, y), com os quais f(x, y)=k, formam uma curva no plano x 0 y que se diz ser a curva de nível de f. Nos itens abaixo, encontre a equação da curva de nível f(x, y)=k que passa pelo ponto dado:
f(x, y)=x^{2}+2 x+y ;(1,3)

Passo 1

O enunciado pede a curva de nível de f definida por\r
f(x,y)=x^{2}+2x+y\r
correspondente a um valor real k que faça com que o ponto (1,3) esteja nessa curva. O conteúdo é o conceito de curva de nível: para cada k, a curva é o conjunto\r
\{(x,y)\mid f(x,y)=k\}.

Passo 2

Para encontrar o valor de k associado ao ponto (1,3), basta avaliar f nesse ponto:\r
k = f(1,3) = 1^{2} + 2\cdot1 + 3 = 1 + 2 + 3 = 6.

Passo 3

A equação geral da curva de nível de valor k é\r
x^{2} + 2x + y = k.

Passo 4

Substituindo k=6 na equação geral, obtemos\r
x^{2} + 2x + y = 6,\r
ou, isolando y,\r
y = 6 - x^{2} - 2x.

Resposta

x^{2} + 2x + y = 6.

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