Questão 6. Para qual das seguintes séries o teste da raiz nos permite concluir a convergência da série?
A \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi^{4 n}}{n}.
B \sum_{n=2}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-2 n}.
C \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2 n^{3}+3 n^{2}-7 n}{n^{3}-9 n+700}\right)^{n}.
D \sum_{n=0}^{\infty}\left(1+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{3^{n}}\right)^{n}.
1 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(\ln (n))^{4 n}}{n^{2 n}}.
F \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{2 n^{2}+3}{4 n^{2}}\right)^{n}.

Passo 1

O enunciado lista seis séries infinitas (A, B, C, D, uma série “ 1” – que chamaremos de E – e F) e pede em qual delas o teste da raiz nos permite concluir convergência. O conteúdo é o teste da raiz de séries, que envolve calcular
L \;=\;\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}
e comparar com 1.

Passo 2

O teste da raiz diz que, para uma série \sum a_n:
se \displaystyle L<1, a série converge;
se \displaystyle L>1, a série diverge;
se \displaystyle L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Para a alternativa A,
a_n = \frac{\pi^{4n}}{n},
logo
\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert} =\frac{\pi^4}{\sqrt[n]{n}} \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;\pi^4>1.
O teste da raiz conclui divergência, não convergência.

Passo 4

Para B,
a_n=\bigl(1-\tfrac1n\bigr)^{-2n},
então
\sqrt[n]{a_n} =\bigl(1-\tfrac1n\bigr)^{-2} \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;1.
Fica L=1, logo o teste é inconclusivo.

Passo 5

Para C,
a_n=\Bigl(\frac{2n^3+3n^2-7n}{n^3-9n+700}\Bigr)^{n},
e o quociente dentro do parêntese tende a 2, então
\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert} \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;2>1,
concluindo divergência.

Passo 6

Para D, note que
1+\frac13+\cdots+\frac1{3^n} =\frac{1-(1/3)^{\,n+1}}{1-1/3} =\frac32\bigl(1-(1/3)^{\,n+1}\bigr),
logo
a_n=\Bigl(\tfrac32(1-(1/3)^{\,n+1})\Bigr)^{n} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt[n]{a_n} \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;\tfrac32>1,
logo diverge pelo teste da raiz.

Passo 7

Para a série E (aqui chamada “ 1”),
a_n=\frac{(\ln n)^{4n}}{n^{2n}},
então
\sqrt[n]{a_n} =\frac{(\ln n)^4}{n^2} \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;0<1.
Assim o teste da raiz conclui convergência.

Passo 8

Para F, observe que
a_n=\Bigl(1+\frac{3}{4n^2}\Bigr)^{n},
de onde
\sqrt[n]{a_n} =1+\frac{3}{4n^2} \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;1,
e o teste fica inconclusivo.

Passo 9

Das seis séries, apenas em E o limite do teste da raiz fica menor que 1, permitindo concluir convergência.

Resposta

E (a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(\ln n)^{4n}}{n^{2n}}).

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