Questão 6. Para qual das seguintes séries o teste da raiz nos permite concluir a convergência da série?
A \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi^{4 n}}{n}.
B \sum_{n=2}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-2 n}.
C \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2 n^{3}+3 n^{2}-7 n}{n^{3}-9 n+700}\right)^{n}.
D \sum_{n=0}^{\infty}\left(1+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{3^{n}}\right)^{n}.
1 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(\ln (n))^{4 n}}{n^{2 n}}.
F \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{2 n^{2}+3}{4 n^{2}}\right)^{n}.
Passo 1
O enunciado lista seis séries infinitas (A, B, C, D, uma série “1” – que chamaremos de E – e F) e pede em qual delas o teste da raiz nos permite concluir convergência. O conteúdo é o teste da raiz de séries, que envolve calcular
L \;=\;\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}
e comparar com 1.
Passo 2
O teste da raiz diz que, para uma série \sum a_n:
se \displaystyle L<1, a série converge;
se \displaystyle L>1, a série diverge;
se \displaystyle L=1, o teste é inconclusivo.