Questão 4: Considere os polinômios:
& p0(x)=1 & p1(x)=x & p2(x)=12(3 x^2-1)
que satisfazem as relações
<pi, pj>=integral-1^1 pi(x) pj(x) d x= 0 & se i neq j 22 i+1 & se i=j
Obtenha g(x)=sumk=0^2 ak pk(x) que aproxima f(x)=x^3 no intervalo [-1,1], pelo Método dos Mínimos Quadrados por um polinômio de grau menor ou igual a 2 e avalie o resíduo.

Passo 1

O enunciado pede a aproximação de f(x)=x^3 em [-1,1] por um polinômio
g(x)=sumk=0^2akpk(x)
onde p0,p1,p2 são polinômios ortogonais com
lang<= pi,pjrang<==integral-1^1pi(x)pj(x),dx = 0,&ineq j, dfrac22i+1,&i=j
O método dos mínimos quadrados em base ortogonal dá
ak=lang<= f,pkrang<=lang<= pk,pkrang<=

Passo 2

Calculemos lang<= f,pkrang<==integral-1^1x^3pk(x),dx e usemos
lang<= pk,pkrang<==2/(2k+1).

Passo 3

Para k=0:
lang<= f,p0rang<==integral-1^1x^3,dx=0 Longrightarrow a0=0
Para k=1:
lang<= f,p1rang<==integral-1^1x^3cdot x,dx =integral-1^1x^4,dx=25,
lang<= p1,p1rang<==23 Longrightarrow a1=tfrac25tfrac23=35
Para k=2:
p2(x)=tfrac12(3x^2-1), lang<= f,p2rang<= =tfrac12l(3!integral-1^1x^5dx-integral-1^1x^3dxr) =0 Longrightarrow a2=0

Passo 4

Logo a aproximação fica
g(x)=a1p1(x)=35,x

Passo 5

O resíduo é
r(x)=f(x)-g(x)=x^3-35x
e sua norma ao quadrado é
|r|^2 =lang<= r,rrang<= =lang<= f,frang<=-lang<= f,p1rang<=^2lang<= p1,p1rang<= =27-l(tfrac25r)^2tfrac23 =8175

Resposta

g(x)=dfrac35,x
r(x)=x^3-dfrac35x
|r|^2=dfrac8175

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