Questão 1. Considere o sistema
\left\{\begin{aligned} 2 x+2 y+2 z & =0 \\\\ -2 x+5 y+2 z & =1 \\\\ 8 x+y+4 z & =-1 \end{aligned} \quad B\left[\begin{array}{rrrr} 2 & 2 & 2 & 0 \\\\ -2 & 5 & 2 & 1 \\\\ 8 & 1 & 4 & -1 \end{array}\right]\right.
(a) Escreva o sistema na forma matricial A X=B.
(b) Escreva a matriz aumentada do sistema.
(c) Escreva a matriz do item (b) na forma escalonada reduzida.
(d) Resolva o sistema.
\begin{aligned} & x=-\frac{1}{7}+\frac{3}{7} a \\\ & y=\frac{1}{7}-\frac{4}{7} a \end{aligned}
z=a
(a) Diga se cada uma das matrizes está ou não na forma escalonada reduzida. Caso a matriz não esteja, coloque-a na forma escalonada escalonada reduzida.
(b) Resolva os sistemas associados às matrizes. (Se o sistema não possuir solução, você deve explicar.)

Passo 1

O enunciado trata de um sistema linear de três equações e três incógnitas. Vamos usar álgebra matricial e eliminação de Gauss para: (i) escrever o sistema na forma A X = B; (ii) montar a matriz aumentada; (iii) reduzir à forma escalonada reduzida (RREF); (iv) extrair a solução geral; e (v) observar que a segunda parte pede análise de outras matrizes, mas essas não foram fornecidas, logo não podemos avançar nessa etapa.

Passo 2

Para escrever o sistema
\begin{cases} 2x + 2y + 2z = 0,\\\\ -2x +5y +2z = 1,\\\\ 8x + y +4z = -1 \end{cases}
na forma matricial A X = B, agrupamos coeficientes e incógnitas:
A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2\\\\ -2 & 5 & 2\\\\ 8 & 1 & 4 \end{pmatrix},\quad X = \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}.
A matriz aumentada correspondente é
\bigl[A\mid B\bigr] =\begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 & 0\\\\ -2 & 5 & 2 & 1\\\\ 8 & 1 & 4 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Aplicamos eliminação de Gauss até obter a forma escalonada reduzida. Um possível caminho é:
  1. R_1\leftarrow \tfrac12R_1.
  2. R_2\leftarrow R_2 + R_1.
  3. R_3\leftarrow R_3 -4R_1.
  4. Normalizar R_2, eliminar acima/abaixo, etc.
    O resultado final em RREF é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -\tfrac{3}{7} & -\tfrac{1}{7}\\\\ 0 & 1 & \tfrac{4}{7} & \tfrac{1}{7}\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].

Passo 4

Da RREF vemos que z é livre, digamos z=a. Então
\begin{cases} x - \tfrac{3}{7}z = -\tfrac{1}{7},\\\ y + \tfrac{4}{7}z = \tfrac{1}{7}, \end{cases}
isto é
x = -\tfrac{1}{7} + \tfrac{3}{7}a,\quad y = \tfrac{1}{7} - \tfrac{4}{7}a,\quad z = a,\quad a\in\mathbb{R}.

Passo 5

A segunda parte pede para verificar se certas matrizes estão em forma escalonada reduzida e, caso não estejam, reduzi-las, e depois resolver os sistemas correspondentes. Como essas matrizes não foram fornecidas, não há como proceder nessa etapa.

Resposta

(a) A=\begin{pmatrix}2&2&2\\\ -2&5&2\\\ 8&1&4\end{pmatrix},\;X=\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix},\;B=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}.
(b) Aumentada \displaystyle\begin{pmatrix}2&2&2&0\\\ -2&5&2&1\\\ 8&1&4&-1\end{pmatrix}.
(c) RREF \displaystyle\begin{pmatrix}1&0&-\tfrac{3}{7}&-\tfrac{1}{7}\\\ 0&1&\tfrac{4}{7}&\tfrac{1}{7}\\\ 0&0&0&0\end{pmatrix}.
(d) Solução geral
x=-\tfrac{1}{7}+\tfrac{3}{7}a,\quad y=\tfrac{1}{7}-\tfrac{4}{7}a,\quad z=a,\quad a\in\mathbb{R}.
(e–f) Não há como verificar nem resolver a segunda parte porque as matrizes não foram enviadas.

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