O enunciado pede para resolver o sistema linear com três equações e quatro incógnitas
\begin{cases} x + 2y + z - w = 4,\\\\ 2x + y -3z + w = -1,\\\\ -\,x + y + z + w = 8. \end{cases}
O conteúdo envolvido é eliminação de variáveis em sistemas subdeterminados, que levam a infinitas soluções paramétricas; vamos usar eliminação de Gauss e tomar uma variável livre (por exemplo w).
Passo 2
Isolamos x na primeira equação:
x = 4 \;-\;2y\;-\;z\;+\;w.
Em seguida, substituímos essa expressão para x nas outras duas equações.
Passo 3
Substituindo em 2x+y-3z+w=-1:
2(4-2y-z+w) + y -3z + w = -1 \;\Longrightarrow\; 8 -4y -2z +2w + y -3z + w = -1 \;\Longrightarrow\; 3y +5z -3w = 9.
Chamemos esta de equação (4).
Passo 4
Substituindo em -x+y+z+w=8:
-\,(4-2y-z+w) + y + z + w = 8 \;\Longrightarrow\; -4 +2y + z - w + y + z + w = 8 \;\Longrightarrow\; 3y +2z = 12.
Chamemos esta de equação (5).
Passo 5
Subtraindo (5) de (4) para eliminar y:
(3y+5z-3w) - (3y+2z) = 9 -12 \;\Longrightarrow\; 3z -3w = -3 \;\Longrightarrow\; z - w = -1 \;\Longrightarrow\; z = w - 1.