Resolva o sistema
\left\{\begin{array}{l} x+2 y+z-w=4 \\\\ 2 x+y-3 z+w=-1 \\\\ -x+y+z+w=8 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear com três equações e quatro incógnitas
\begin{cases} x + 2y + z - w = 4,\\\\ 2x + y -3z + w = -1,\\\\ -\,x + y + z + w = 8. \end{cases}
O conteúdo envolvido é eliminação de variáveis em sistemas subdeterminados, que levam a infinitas soluções paramétricas; vamos usar eliminação de Gauss e tomar uma variável livre (por exemplo w).

Passo 2

Isolamos x na primeira equação:
x = 4 \;-\;2y\;-\;z\;+\;w.
Em seguida, substituímos essa expressão para x nas outras duas equações.

Passo 3

Substituindo em 2x+y-3z+w=-1:
2(4-2y-z+w) + y -3z + w = -1 \;\Longrightarrow\; 8 -4y -2z +2w + y -3z + w = -1 \;\Longrightarrow\; 3y +5z -3w = 9.
Chamemos esta de equação (4).

Passo 4

Substituindo em -x+y+z+w=8:
-\,(4-2y-z+w) + y + z + w = 8 \;\Longrightarrow\; -4 +2y + z - w + y + z + w = 8 \;\Longrightarrow\; 3y +2z = 12.
Chamemos esta de equação (5).

Passo 5

Subtraindo (5) de (4) para eliminar y:
(3y+5z-3w) - (3y+2z) = 9 -12 \;\Longrightarrow\; 3z -3w = -3 \;\Longrightarrow\; z - w = -1 \;\Longrightarrow\; z = w - 1.

Passo 6

Voltando a (5), substituímos z = w-1:
3y + 2(w-1) = 12 \;\Longrightarrow\; 3y +2w -2 = 12 \;\Longrightarrow\; 3y = 14 -2w \;\Longrightarrow\; y = \frac{14 -2w}{3}.

Passo 7

Agora obtemos x usando a expressão do Passo 2:
x = 4 -2\Bigl(\frac{14-2w}{3}\Bigr) - (w-1) + w = \frac{4\cdot3 -2(14-2w) -3(w-1) +3w}{3} = \frac{12 -28 +4w -3w +3 +3w}{3} = \frac{4w -13}{3}.

Resposta

Tomando w como parâmetro livre w=t, as soluções são
x = \frac{4t -13}{3},\quad y = \frac{14 -2t}{3},\quad z = t -1,\quad w = t, \quad t\in\mathbb{R}.

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