Questão 4
Considere o sistema linear A x=b :
c 3 x1+4 x2+x3=13 2 x1-2 x2+3 x3=11 x1+x2-2 x3=-3
Resolva o sistema linear usando FATORAÇÃO LU (sem pivoteamento).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para resolver o sistema
3x1 + 4x2 + x3 = 13, 2x1 - 2x2 + 3x3 = 11, x1 + x2 - 2x3 = -3
usando fatoração LU sem pivoteamento. Isso é conteúdo de sistemas lineares e álgebra linear: a ideia é escrever A = LU, onde
  • L é triangular inferior com 1 na diagonal,
  • U é triangular superior.
    Depois a gente resolve Ly = b por substituição direta e Ux = y por substituição reversa. Pronto para os cálculos!

Passo 2

Vamos montar a fatoração pelo método de Doolittle. Definimos
L = 1 & 0 & 0 ell21 & 1 & 0 ell31 & ell32 & 1 , U = u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33
Começamos pela primeira linha de U:
u₁₁ = a₁₁ = 3,
u₁₂ = a₁₂ = 4,
u₁₃ = a₁₃ = 1.
Agora os multiplicadores da coluna 1 de L:
ell21 = a21u11 = 23, ell31 = a31u11 = 13
Em seguida, atualizamos as entradas da submatriz A2:3,,2:3:
u22 = a22 - ell21,u12 = -2 - tfrac23cdot4 = -2 - tfrac83 = -tfrac143,
u23 = a23 - ell21,u13 = 3 - tfrac23cdot1 = 3 - tfrac23 = tfrac73
Agora o próximo multiplicador em L:
ell32 = ,a32 - ell31,u12,u22 = ,1 - tfrac13cdot4,-tfrac143 = -tfrac13-tfrac143 = tfrac114
E finalmente
u33 = a33 - ell31,u13 - ell32,u23 = -2 - tfrac13cdot1 - tfrac114cdottfrac73 = -tfrac73 - tfrac742 = -tfrac52
No fim,
L = 1 & 0 & 0 tfrac23 & 1 & 0 tfrac13 & tfrac114 & 1 , U = 3 & 4 & 1 0 & -tfrac143 & tfrac73 0 & 0 & -tfrac52

Passo 3

Agora resolvemos [Ly = b) por substituição direta.
Logo (y = \bigl(13,;\tfrac{7}{3},;-\tfrac{15}{2}\bigr)^T].

Passo 4

Por fim, Ux = y por substituição reversa:
-tfrac52,x3 = -tfrac152 ;Longrightarrow; x3 = 3, -tfrac143,x2 + tfrac73,x3 = tfrac73 ;Longrightarrow; -tfrac143x2 + 7 = tfrac73 ;Longrightarrow; x2 = 1, 3,x1 + 4,x2 + 1,x3 = 13 ;Longrightarrow; 3x1 +4cdot1 +3 =13 ;Longrightarrow; x1 = 2

Resposta

x = l(x1,x2,x3r) = (2,;1,;3).

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