Sejam f, g: D subset R R, x0 in D^prime. Em cada um dos itens a seguir, considere a função h: D subset R R definida da forma indicada. Discuta o que se pode afirmar sobre h, com base nas hipóteses dadas sobre f e g.
lim x x0 f(x)=+infty, lim x x0 g(x)=a in R backslash0, h(x)=f(x) cdot g(x)

Passo 1

O enunciado dá duas funções f,g:DsubsetRtoR e um ponto x0in D' tais que
limxto x0f(x)=+infty, limxto x0g(x)=aneq 0,
e define
h(x)=f(x),g(x)
O conteúdo aqui é o cálculo de limite de produto quando um fator diverge para +infty e o outro tende a um número não nulo. Vamos usar o fato de que, perto de x0, g(x) fica com o mesmo sinal de a e afastado de zero, e então combinar isso com a definição de limite infinito de f.

Passo 2

Suponha primeiro que a>0. Então existe de<a1>0 tal que, para 0<|x-x0|<de<a1, vale
l|g(x)-ar|<a2Longrightarrow g(x)>a2>0
Dado um M>0, como limxto x0f(x)=+infty existe de<a2>0 tal que, para 0<|x-x0|<de<a2,
f(x)>2Ma
Tomando de<a=minde<a1,de<a2, para 0<|x-x0|<de<a temos
h(x)=f(x),g(x)>2Macdota2=M
Isso mostra limxto x0h(x)=+infty quando a>0.

Passo 3

Agora, se a<0, argumentamos de modo análogo. Há de<a1>0 tal que, para 0<|x-x0|<de<a1,
l|g(x)-ar|<|a|2Longrightarrow g(x)<-|a|2<0
Dado M>0, pelo mesmo motivo de f(x)to+infty existe de<a2>0 com
f(x)>2M|a|sempre que 0<|x-x0|<de<a2
Escolhendo de<a=minde<a1,de<a2, para 0<|x-x0|<de<a resulta
h(x)=f(x),g(x)<2M|a|cdotl(-|a|2r)=-M,
o que mostra limxto x0h(x)=-infty quando a<0.

Resposta

Se a>0, então limxto x0h(x)=+infty.
Se a<0, então limxto x0h(x)=-infty.

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