Sejam . Em cada um dos itens a seguir, considere a função definida da forma indicada. Discuta o que se pode afirmar sobre , com base nas hipóteses dadas sobre e .
Passo 1
O enunciado dá duas funções e um ponto tais que
e define
O conteúdo aqui é o cálculo de limite de produto quando um fator diverge para e o outro tende a um número não nulo. Vamos usar o fato de que, perto de , fica com o mesmo sinal de e afastado de zero, e então combinar isso com a definição de limite infinito de .
Passo 2
Suponha primeiro que . Então existe tal que, para , vale
Dado um M>0, como limxto x0f(x)=+infty existe de<a2>0 tal que, para 0<|x-x0|<de<a2,
f(x)>2Ma
Tomando de<a=minde<a1,de<a2, para 0<|x-x0|<de<a temos
h(x)=f(x),g(x)>2Macdota2=M
Isso mostra limxto x0h(x)=+infty quando a>0.
Passo 3
Agora, se a<0, argumentamos de modo análogo. Há de<a1>0 tal que, para 0<|x-x0|<de<a1,
l|g(x)-ar|<|a|2Longrightarrow g(x)<-|a|2<0
Dado M>0, pelo mesmo motivo de f(x)to+infty existe de<a2>0 com
f(x)>2M|a|sempre que 0<|x-x0|<de<a2
Escolhendo de<a=minde<a1,de<a2, para 0<|x-x0|<de<a resulta
h(x)=f(x),g(x)<2M|a|cdotl(-|a|2r)=-M,
o que mostra limxto x0h(x)=-infty quando a<0.
Resposta
Se a>0, então limxto x0h(x)=+infty.
Se a<0, então limxto x0h(x)=-infty.