Sejam f, g: D subset R R, x0 in D^prime. Em cada um dos itens a seguir, considere a função h: D subset R R definida da forma indicada. Discuta o que se pode afirmar sobre h, com base nas hipóteses dadas sobre f e g.
lim x x0 f(x)=+infty, lim x x0 g(x)=a in R, h(x)=f(x)+g(x)

Passo 1

O enunciado define duas funções f,g:DsubsetRtoR e um ponto de acumulação x0in D'. Sabemos que
limxto x0f(x)=+infty, limxto x0g(x)=ainR,
e definimos h(x)=f(x)+g(x). Precisamos determinar o limite de h(x) quando xto x0.

Passo 2

Pela definição de limite que tende a +infty,
limxto x0f(x)=+infty
significa que, para todo M>0, existe de<a1>0 tal que, sempre que 0<|x-x0|<de<a1, temos
f(x)>M

Passo 3

Pela definição de limite finito,
limxto x0g(x)=a
significa que, para varepsilon=1, existe de<a2>0 tal que, se 0<|x-x0|<de<a2, então
|g(x)-a|<1 Longrightarrow g(x)>a-1

Passo 4

Queremos mostrar que limxto x0h(x)=+infty, isto é, que para todo M>0 existe de<a>0 tal que, se 0<|x-x0|<de<a, então h(x)>M.
Dado M>0, defina
M1=M-(a-1)
Pela divergência de f a +infty, existe de<a1>0 com
0<|x-x0|<de<a1 Longrightarrow f(x)>M1
Pela convergência de g a a, existe de<a2>0 com
0<|x-x0|<de<a2 Longrightarrow g(x)>a-1
Tomando de<a=minde<a1,de<a2, para 0<|x-x0|<de<a temos
h(x)=f(x)+g(x)>M1+(a-1)=M-(a-1)+(a-1)=M,
mostrando que h(x) também diverge para +infty.

Resposta

limxto x0h(x)=+infty

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