Sejam
. Em cada um dos itens a seguir, considere a função
definida da forma indicada. Discuta o que se pode afirmar sobre
, com base nas hipóteses dadas sobre
e
.
Passo 1
O enunciado define duas funções
e um ponto de acumulação
. Sabemos que
e definimos
. Precisamos determinar o limite de
quando
.
Passo 2
Pela definição de limite que tende a
,
significa que, para todo
, existe
tal que, sempre que
, temos
Passo 3
Pela definição de limite finito,
significa que, para
, existe
tal que, se
, então
Passo 4
Queremos mostrar que
, isto é, que para todo
existe
tal que, se
, então
.
Dado , defina
Dado
Pela divergência de
a
, existe
com
Pela convergência de
a
, existe
com
Tomando
, para
temos
mostrando que
também diverge para
.