Questão 2
Encontre uma representação em séries de potências da função f(x)=42 x+3 e determine o raio de convergência (use a série de potência geométrica).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente encontrar a representação em séries de potências de
f(x)=42x+3
e também determinar o raio de convergência.
Conteúdo envolvido:
  • Série geométrica:
11-r=sumn=0^infty r^n,para |r|<1
O que precisamos: reescrever f(x) no formato dfrac11-r (ou com um fator à frente) e usar a fórmula acima.

Passo 2

Primeiro ajuste algébrico pra colocar em forma de série geométrica.
f(x)=42x+3 =43l(1+tfrac23xr) =43,11+ tfrac23x =43,11 -l(-tfrac23xr)
Aqui definimos r=-tfrac23x, pois a série geométrica quer 1/(1-r).

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula da série geométrica, lembrando que ela vale para |r|<1.
Como r=-tfrac23x, temos:
11-(-tfrac23x)=sumn=0^inftyl(-tfrac23xr)^n =sumn=0^infty(-1)^nl(tfrac23r)^n x^n
Multiplicando pelo fator tfrac43 que tínhamos:
f(x)=43sumn=0^infty(-1)^nl(tfrac23r)^n x^n =sumn=0^infty43(-1)^nl(tfrac23r)^n x^n

Passo 4

Falta achar o raio de convergência. A condição é
|r|<1Longrightarrowl|-tfrac23xr|<1 Longrightarrow|x|<32
Então o raio de convergência é
R=32

Resposta

A representação em série de potências é
boxed,f(x)=sumn=0^infty43(-1)^nl(tfrac23r)^n x^n,
e o raio de convergência vale
boxedR=tfrac32

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