Verificar se S é um subespaço de \mathbb{R}^{3} (utilize a adição e a multiplicação por escalar usual)
S=\{(x, 2 x, 3 x) \mid x \leq 0\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
S = \{(x,2x,3x)\mid x \le 0\}
é um subespaço de \mathbb{R}^3 com as operações usuais. Para isso precisamos checar três propriedades:
  1. \mathbf{0}\in S.
  2. Fechamento sob adição.
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar se o vetor nulo está em S.
Tomando x=0 temos (0,2\cdot0,3\cdot0)=(0,0,0) e 0\le0.
Logo \mathbf{0}=(0,0,0)\in S.

Passo 3

Verificar fechamento sob adição.
Sejam \mathbf{u}=(x_1,2x_1,3x_1) e \mathbf{v}=(x_2,2x_2,3x_2) em S, com x_1\le0 e x_2\le0.
Então
\mathbf{u}+\mathbf{v} =(x_1+x_2,\,2(x_1+x_2),\,3(x_1+x_2)).
Como x_1\le0 e x_2\le0 implica x_1+x_2\le0, concluímos que \mathbf{u}+\mathbf{v}\in S.

Passo 4

Verificar fechamento sob multiplicação por escalar.
Considere \mathbf{u}=(x,2x,3x)\in S com x<0 e o escalar \alpha=-1.
Então
\alpha\,\mathbf{u} =(-1)\,(x,2x,3x) =(-x,\,-2x,\,-3x).
Seja y=-x. Como x<0 temos y>0. Assim
\alpha\,\mathbf{u}=(y,2y,3y)
com y>0, logo \alpha\,\mathbf{u}\notin S (não satisfaz y\le0).
Portanto S não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

S não é um subespaço de \mathbb{R}^3.)

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