Questão 7. Considere o sistema: \{m x+2 y-z=1 ; x+y+z=2 ; x-y-z=0\}. Para que a solução seja única, os valores de m são:
  • (A) m \neq 0
  • (B) m \neq-1
  • (C) m \neq 2
  • (D) m \neq-2
  • (E) m \neq 3

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} m x + 2y - z = 1,\\\ x + y + z = 2,\\\ x - y - z = 0, \end{cases}
e pergunta para quais m a solução é única. Em teoria de sistemas lineares, a solução de um sistema quadrado 3\times3 é única se, e somente se, o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero.

Passo 2

Construímos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} m & 2 & -1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}
e aplicamos a regra de Sarrus para calcular \det(A):
\det(A) = m\cdot(1\cdot(-1) - 1\cdot(-1)) - 2\cdot(1\cdot(-1) - 1\cdot1) + (-1)\cdot(1\cdot(-1) - 1\cdot1) = 6.

Passo 3

Como \det(A)=6 independe de m e é sempre diferente de zero, concluímos que o sistema tem solução única para todo m\in\mathbb{R}.

Resposta

A solução é única para qualquer valor de m\in\mathbb{R}. Portanto, nenhuma das alternativas (A) a (E) está correta.

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