Questão 4. Seja \mathcal{B}=\{(1,0),(0,1)\} e \mathcal{B}^{\prime}=\{(1,1),(1,-1)\} :
a) A matriz de mudança de base de \mathcal{B} para \mathcal{B}^{\prime} é invertível
b) Todo vetor de \mathbb{R}^{2} pode ser escrito em coordenadas na base \mathcal{B}^{\prime}
c) A matriz de mudança de base \mathcal{B} \rightarrow \mathcal{B}^{\prime} tem inversa que representa \mathcal{B}^{\prime} \rightarrow \mathcal{B}
d) \mathcal{B} e \mathcal{B}^{\prime} são bases válidas de \mathbb{R}^{2}
e) A coordenada de um vetor depende apenas dele e não da base

Passo 1

O enunciado dá duas coleções de vetores em \mathbb{R}^2:
\mathcal{B}=\{(1,0),(0,1)\} (base canônica) e \mathcal{B}'=\{(1,1),(1,-1)\}.
O conteúdo é teoria de base e mudança de base em espaços vetoriais de dimensão 2.

Passo 2

Para verificar que \mathcal{B}' é de fato uma base de \mathbb{R}^2, montamos a matriz cujas colunas são os vetores de \mathcal{B}' escritos na base canônica:
P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ 1 & -1 \end{pmatrix}.
Calculamos o determinante:
\det(P)=1\cdot(-1)-1\cdot1=-2\neq0.
Como o determinante é não nulo, os vetores são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^2.

Passo 3

Dessa forma \mathcal{B}' é base de \mathbb{R}^2. Logo:
– Todo vetor de \mathbb{R}^2 pode ser escrito em coordenadas na base \mathcal{B}' (b).
– A matriz de mudança de base de \mathcal{B} para \mathcal{B}' é exatamente P, que é invertível (a).

Passo 4

Pela teoria de mudança de base, a inversa de P representa a mudança de base de \mathcal{B}' de volta para \mathcal{B}. Ou seja, P^{-1} é a matriz de \mathcal{B}'\to\mathcal{B}, o que confirma (c).

Passo 5

Como vimos, ambas as coleções são bases válidas de \mathbb{R}^2, confirmando (d).
Por fim, as coordenadas de um vetor dependem da base escolhida; portanto, a afirmação (e) é falsa.

Resposta

(a) Verdadeira
(b) Verdadeira
(c) Verdadeira
(d) Verdadeira
(e) Falsa

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