Questão 3. Dado \vec{a}=(1,0,1), \vec{b}=(2,-1,3), \vec{c}=(0,1,-1) :
a) \vec{b} é combinação linear de \vec{a} e \vec{c}
b) Os vetores \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} são linearmente dependentes
c) Os vetores \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} são linearmente independentes
d) É possível encontrar uma base de \mathbb{R}^{3} contendo \vec{a}
e) Três vetores quaisquer em \mathbb{R}^{3} são sempre LI
Passo 1
O enunciado dá os vetores \vec a=(1,0,1), \vec b=(2,-1,3) e \vec c=(0,1,-1) em \mathbb R^3. Queremos checar (a) se \vec b é combinação linear de \vec a e \vec c; (b) se os três vetores são linearmente dependentes ou independentes; (d) se dá para estender \vec a a uma base de \mathbb R^3; e (e) se todo tripla de vetores em \mathbb R^3 é sempre linearmente independente. Para isso, usamos definição de combinação linear, dependência linear e teorema de extensão de base.
Passo 2
Para ver se \vec b\) é combinação linear de \(\vec a\) e \(\vec c\), buscamos escalares \(\alpha,\beta\) tais que
\[\alpha\,(1,0,1) + \beta\,(0,1,-1) = (2,-1,3).
Substituindo \alpha=2\] e \(\beta=-1 no terceiro, 2 - (-1)=3 atende certinho. Logo existe combinação linear, e a afirmação (a) é verdadeira.
Passo 3
Como já escrevemos \vec b em função de \vec a e \vec c, isso mostra que os três vetores são linearmente dependentes (b) e, consequentemente, não são independentes (descarta-se (c)).
Passo 4
O teorema de extensão de base diz que qualquer vetor não-nulo em \mathbb R^3 pode ser completado a uma base. Como \vec a\neq(0,0,0), é sempre possível encontrar dois vetores adicionais que, junto com \vec a, formem uma base de \mathbb R^3. Assim, (d) é verdadeira.
Passo 5
A afirmação (e) “Três vetores quaisquer em \mathbb R^3 são sempre LI” é falsa, pois acabamos de ver um exemplo em que três vetores são LD.
Resposta
(a), (b) e (d) são verdadeiras; (c) e (e) são falsas.