Questão 9: Considere o subconjunto em , com .
a. Encontre uma base para o subespaço gerado por e determine a sua dimensão.
b. Complete a base encontrada acima a uma base para .
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos o conjunto
com , , , .
O objetivo é achar uma base de , determinar sua dimensão e depois completar essa base até uma base de . Para isso, vamos usar redução de matrizes e identificar colunas-pivô.
Passo 2
Montamos a matriz cujas colunas são :
Aplicando operações elementares para redução em forma de escada, obtemos
Há pivôs nas colunas 1, 2 e 3, o que indica que v1,v2,v3 são linearmente independentes e que v4 é combinação linear dos três primeiros.
Passo 3
Portanto, uma base de Span(S) é
,v1,,v2,,v3,
e
diml(Span(S)r)=3
Passo 4
Para completar essa base a uma base de R^4, basta adicionar um vetor que não pertença a Span(S). Por exemplo,
e4=(0,0,0,1)
Não existem alpha,beta,gamma tais que alpha v1+beta v2+gamma v3=e4, logo v1,v2,v3,e4 é linearmente independente e, como tem 4 vetores em R^4, forma uma base de R^4.
Resposta
(a) Uma base de Span(S) é v1,v2,v3 e dim(Span(S))=3.
(b) Uma extensão a uma base de R^4 é v1,v2,v3,(0,0,0,1).