Questão 9: Considere o subconjunto S=v1, v2, v3, v4 em R^4, com v1= (1,2,0,1), v2=(1,0,3,3), v3=(0,2,-1,0), v4=(1,0,0,0).
a. Encontre uma base para o subespaço gerado por S e determine a sua dimensão.
b. Complete a base encontrada acima a uma base para R^4.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o conjunto
S=v1,v2,v3,v4subsetR^4
com
v1=(1,2,0,1),
v2=(1,0,3,3),
v3=(0,2,-1,0),
v4=(1,0,0,0).
O objetivo é achar uma base de Span(S), determinar sua dimensão e depois completar essa base até uma base de R^4. Para isso, vamos usar redução de matrizes e identificar colunas-pivô.

Passo 2

Montamos a matriz cujas colunas são v1,v2,v3,v4:
1 & 1 & 0 & 1 2 & 0 & 2 & 0 0 & 3 & -1 & 0 1 & 3 & 0 & 0
Aplicando operações elementares para redução em forma de escada, obtemos
1 & 1 & 0 & 1 0 & -2 & 2 & -2 0 & 0 & 2 & -3 0 & 0 & 0 & 0
Há pivôs nas colunas 1, 2 e 3, o que indica que v1,v2,v3 são linearmente independentes e que v4 é combinação linear dos três primeiros.

Passo 3

Portanto, uma base de Span(S) é
,v1,,v2,,v3,
e
diml(Span(S)r)=3

Passo 4

Para completar essa base a uma base de R^4, basta adicionar um vetor que não pertença a Span(S). Por exemplo,
e4=(0,0,0,1)
Não existem alpha,beta,gamma tais que alpha v1+beta v2+gamma v3=e4, logo v1,v2,v3,e4 é linearmente independente e, como tem 4 vetores em R^4, forma uma base de R^4.

Resposta

(a) Uma base de Span(S) é v1,v2,v3 e dim(Span(S))=3.
(b) Uma extensão a uma base de R^4 é v1,v2,v3,(0,0,0,1).

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