Seja U=(lla & b c & d) rvert, a-b+c=0 e a=d.
a. Prove que U é um subespaço vetorial de M2(R).
b. Determine uma base e a dimensão de U.

Passo 1

O enunciado define
U=a & b c & din M2(R);midd<=|;a-b+c=0 e a=d
Pede: (a) mostrar que U é subespaço vetorial de M2(R), usando o critério de subespaço; (b) encontrar uma base de U e sua dimensão, o que envolve parametrizar as entradas sujeitas às duas condições lineares.

Passo 2

Para provar que é subespaço vetorial, usamos o critério:
  1. Zerão está em . A matriz zero é e satisfaz e .
  2. Fechamento sob soma. Se
estão em , então e para . Na soma
temos
e
Logo .
3. Fechamento sob multiplicação escalar. Para ,
satisfaz

e . Portanto .
Como zero está em e há fechamento sob soma e escalar, é subespaço vetorial.

Passo 3

Para encontrar uma base, parametrizamos as matrizes de U. Das condições
a-b+c=0Longrightarrow c=b-a, d=a,
um elemento genérico de U vale
a & b b-a & a = a1&0-1&1 + b0&11&0
Chame
M1=1&0-1&1, M2=0&11&0
Mostra-se facilmente que M1 e M2 são linearmente independentes e geram U.

Passo 4

Como encontramos dois vetores independentes que geram U, concluímos que M1,M2 é base de U e que
dim(U)=2

Resposta

Uma base de U é
1&0-1&1, 0&11&0 ,
e dim(U)=2.

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