Seja e a=d.
a. Prove que U é um subespaço vetorial de M2(R).
b. Determine uma base e a dimensão de U.
Passo 1
O enunciado define
U=a & b c & din M2(R);midd<=|;a-b+c=0 e a=d
Pede: (a) mostrar que U é subespaço vetorial de M2(R), usando o critério de subespaço; (b) encontrar uma base de U e sua dimensão, o que envolve parametrizar as entradas sujeitas às duas condições lineares.
Passo 2
Para provar que é subespaço vetorial, usamos o critério:
Zerão está em . A matriz zero é e satisfaz e .
Fechamento sob soma. Se
estão em , então e para . Na soma
temos
e
Logo .
3. Fechamento sob multiplicação escalar. Para ,
satisfaz
e . Portanto .
Como zero está em e há fechamento sob soma e escalar, é subespaço vetorial.
Passo 3
Para encontrar uma base, parametrizamos as matrizes de U. Das condições
a-b+c=0Longrightarrow c=b-a, d=a,
um elemento genérico de U vale
a & b b-a & a = a1&0-1&1 + b0&11&0
Chame
M1=1&0-1&1, M2=0&11&0
Mostra-se facilmente que M1 e M2 são linearmente independentes e geram U.
Passo 4
Como encontramos dois vetores independentes que geram U, concluímos que M1,M2 é base de U e que