Questão 4
Considere o subespaço W de R^4 gerado pelos vetores:
l v1=(-3,-4,1,-2), v2=underbrace(-1,-2,4,3)V1, v3=underbrace(-1,-1,-2,-4)V3 e v4=underbrace(-1,-1,-1,-1) Encontre: -
Encontre uma base ortogonal de W.

Passo 1

O enunciado pede uma base ortogonal do subespaço Wsubset R^4 gerado pelos vetores
v1=(-3,-4,1,-2), v2=(-1,-2,4,3), v3=(-1,-1,-2,-4), v4=(-1,-1,-1,-1)
Primeiro notamos que dim W=3 (por exemplo, fazendo redução de posto chega-se a 3). Podemos então aplicar o processo de Gram–Schmidt aos vetores v1,v2,v3 para obter três vetores ortogonais que geram W.

Passo 2

Definimos
u1 = v1
Calculamos em seguida
lang<= u1,u1rang<= =(-3)^2+(-4)^2+1^2+(-2)^2=30, lang<= v2,u1rang<= =(-1)(-3)+(-2)(-4)+4cdot1+3(-2)=9
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u2 = v2 - lang<= v2,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1 = v2 - 930u1 = v2 - 310u1

Passo 3

Para u2 vale também
lang<= u2,u2rang<= = 27310
Em seguida calculamos os coeficientes para retirar de v3 as componentes em u1 e u2:
lang<= v3,u1rang<= =13, lang<= v3,u2rang<= = -20910
Assim
u3 = v3 - lang<= v3,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1 - lang<= v3,u2rang<=lang<= u2,u2rang<=,u2 = v3 - 1330,u1 + 209273,u2

Resposta

Uma base ortogonal de W é
l,u1,;u2,;u3r,
onde
u1 = v1, u2 = v2 - tfrac310v1, u3 = v3 - tfrac1330v1 + tfrac209273l(v2 - tfrac310v1r)

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