Questão 4 Considere o subespaço W de R^4 gerado pelos vetores: l v1=(-3,-4,1,-2), v2=underbrace(-1,-2,4,3)V1, v3=underbrace(-1,-1,-2,-4)V3 e v4=underbrace(-1,-1,-1,-1) Encontre: - Encontre uma base ortogonal de W. Passo 1O enunciado pede uma base ortogonal do subespaço Wsubset R^4 gerado pelos vetores v1=(-3,-4,1,-2), v2=(-1,-2,4,3), v3=(-1,-1,-2,-4), v4=(-1,-1,-1,-1) Primeiro notamos que dim W=3 (por exemplo, fazendo redução de posto chega-se a 3). Podemos então aplicar o processo de Gram–Schmidt aos vetores v1,v2,v3 para obter três vetores ortogonais que geram W. Passo 2Definimos u1 = v1 Calculamos em seguida lang<= u1,u1rang<= =(-3)^2+(-4)^2+1^2+(-2)^2=30, lang<= v2,u1rang<= =(-1)(-3)+(-2)(-4)+4cdot1+3(-2)=9 Logo u2 = v2 - lang<= v2,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1 = v2 - 930u1 = v2 - 310u1 Passo 3Para u2 vale também lang<= u2,u2rang<= = 27310 Em seguida calculamos os coeficientes para retirar de v3 as componentes em u1 e u2: lang<= v3,u1rang<= =13, lang<= v3,u2rang<= = -20910 Assim u3 = v3 - lang<= v3,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1 - lang<= v3,u2rang<=lang<= u2,u2rang<=,u2 = v3 - 1330,u1 + 209273,u2 RespostaUma base ortogonal de W é l,u1,;u2,;u3r, onde u1 = v1, u2 = v2 - tfrac310v1, u3 = v3 - tfrac1330v1 + tfrac209273l(v2 - tfrac310v1r) MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosQuestão 1 Seja W=(x, y, z) in R^3 mid 6 x+2 y+5 z=0 o subespaço vetorial de R^3 com as operaçōes usuais. Considerando o produto interno usual do espaço R^3, encontre uma base ortonornal para W. Questão 2 Mostre que se v é ortogonal a cada v1, cdots, vn, então v é ortogonal a qualquer combinação linear alpha1 v1+cdots+alphan vn. Questão 3 Sejam B1=(1,0),(0,1) e B2=(raiz5,-1),(raiz5, 1) duas bases de R^2. Quais são as coordenadas do vetor v=(-3,2) em relação à base B2. Questão 3 Sejam B1=(1,0),(0,1) e B2=(raiz5,-1),(raiz5, 1) duas bases de R^2. Ache a matriz mudança de base [I]B2^B1