Questão 1
Seja
o subespaço vetorial de
com as operaçōes usuais.
Considerando o produto interno usual do espaço
, encontre uma base ortonornal para W.
Seja
Considerando o produto interno usual do espaço
Passo 1
O enunciado define o subespaço
no com o produto interno usual, e pede uma base ortonormal de
. Como
é o plano ortogonal ao vetor normal
vamos primeiro encontrar dois vetores lineares independentes em e depois aplicar o processo de Gram–Schmidt para ortonormalizá-los.
no
vamos primeiro encontrar dois vetores lineares independentes em
Passo 2
Para obter vetores em
basta escolher valores de
que satisfaçam
. Por exemplo, tomando
vem
logo
Outro vetor independente é obtido por
pois
logo
Passo 3
Agora aplicamos Gram–Schmidt em
. Primeiro normalizamos
:
Em seguida projetamos
sobre
:
Definimos o segundo vetor ortogonalizado
Multiplicando por 2 (manter a mesma direção) temos o vetor equivalente
Passo 4
Por fim normalizamos
:
Resposta
Uma base ortonormal de
é