Questão 1
Seja W=(x, y, z) in R^3 mid 6 x+2 y+5 z=0 o subespaço vetorial de R^3 com as operaçōes usuais.
Considerando o produto interno usual do espaço R^3, encontre uma base ortonornal para W.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W = (x,y,z)inR^3 mid 6x+2y+5z=0
no R^3 com o produto interno usual, e pede uma base ortonormal de W. Como W é o plano ortogonal ao vetor normal
n=(6,2,5),
vamos primeiro encontrar dois vetores lineares independentes em W e depois aplicar o processo de Gram–Schmidt para ortonormalizá-los.

Passo 2

Para obter vetores em W basta escolher valores de (x,y,z) que satisfaçam 6x+2y+5z=0. Por exemplo, tomando
x=1,;y=-3,;z=0
vem
6cdot1 + 2cdot(-3) + 5cdot0 = 6 -6 +0 = 0,
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v1 = (1,-3,0)in W
Outro vetor independente é obtido por
x=0,;y=-5,;z=2
pois
6cdot0 + 2cdot(-5) + 5cdot2 = -10 +10 = 0,
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v2 = (0,-5,2)in W

Passo 3

Agora aplicamos Gram–Schmidt em v1,v2. Primeiro normalizamos v1:
|v1| = raiz1^2 +(-3)^2 +0^2 = raiz10,
u1 = v1|v1| = 1raiz10,(1,-3,0)
Em seguida projetamos v2 sobre u1:
proju1(v2) = (v2cdot u1),u1 = 0cdot1 + (-5)cdot(-3) + 2cdot0raiz10,u1 = 15raiz10,u1 = 1510,(1,-3,0) = l(tfrac32,-tfrac92,0r)
Definimos o segundo vetor ortogonalizado
w2 = v2 - proju1(v2) = l(0,-5,2r) - l(tfrac32,-tfrac92,0r) = l(-tfrac32,-tfrac12,2r)
Multiplicando por 2 (manter a mesma direção) temos o vetor equivalente
w2' = (-3,-1,4)

Passo 4

Por fim normalizamos w2':
|w2'| = raiz(-3)^2 + (-1)^2 + 4^2 = raiz9+1+16 = raiz26,
u2 = w2'|w2'| = 1raiz26,(-3,-1,4)

Resposta

Uma base ortonormal de W é
l1raiz10(1,-3,0), 1raiz26(-3,-1,4)r

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