Questão 3: Considere a transformação linear T: R^{3} \rightarrow R^{3} dada por T(x, y, z)=(x+y, x+y, 3 z).
a. Determine uma base da imagem de T.
b. Determine uma base do núcleo de T.
c. T é sobrejetiva? É injetiva?
d. Determine, caso exista, T^{-1}.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \quad\text{por}\quad T(x,y,z) = (x+y,\;x+y,\;3z).
Precisamos achar
  • uma base de \operatorname{Im}(T),
  • uma base de \ker(T),
  • verificar se T é sobrejetiva e/ou injetiva,
  • e, se existir, encontrar T^{-1}.
    O conteúdo principal é teoria de transformações lineares: imagem, núcleo, posto e inversibilidade.

Passo 2

Para achar \operatorname{Im}(T), note que todo vetor da forma T(x,y,z) é
(x+y,\;x+y,\;3z) = (x+y)\,(1,1,0) \;+\;3z\,(0,0,1).
Logo
\operatorname{Im}(T) = \operatorname{span}\{(1,1,0),(0,0,1)\}.
Esses dois vetores são linearmente independentes, portanto uma base de \operatorname{Im}(T) é
\{(1,1,0),\,(0,0,1)\}.

Passo 3

Para achar \ker(T)\), resolvemos \(T(x,y,z) = (0,0,0)\), ou seja \[\begin{cases} x + y = 0,\\\\ 3z = 0. \end{cases}
Daí y = -x\] e \(z = 0. Logo
\ker(T) = \{(x,-x,0)\mid x\in\mathbb{R}\} = \operatorname{span}\{(1,-1,0)\}.
Uma base de \ker(T) é \{(1,-1,0)\}.

Passo 4

A dimensão de \operatorname{Im}(T) é 2 (não é todo \mathbb{R}^3), logo T não é sobrejetiva.
O núcleo tem dimensão 1 (não é apenas o vetor zero), logo T não é injetiva.

Passo 5

Como T não é bijetiva, não existe transformação inversa T^{-1} definida em todo \mathbb{R}^3.

Resposta

a. Uma base de \operatorname{Im}(T) é \{(1,1,0),\,(0,0,1)\}.
b. Uma base de \ker(T) é \{(1,-1,0)\}.
c. T não é sobrejetiva e não é injetiva.
d. Não existe T^{-1} (pois T não é bijetiva).

Exercícios relacionados