Questão 3: Considere a transformação linear
dada por
.
a. Determine uma base da imagem de
.
b. Determine uma base do núcleo de
.
c. T é sobrejetiva? É injetiva?
d. Determine, caso exista,
.
a. Determine uma base da imagem de
b. Determine uma base do núcleo de
c. T é sobrejetiva? É injetiva?
d. Determine, caso exista,
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
Precisamos achar
- uma base de
, - uma base de
, - verificar se
é sobrejetiva e/ou injetiva, - e, se existir, encontrar
.
O conteúdo principal é teoria de transformações lineares: imagem, núcleo, posto e inversibilidade.
Passo 2
Para achar
, note que todo vetor da forma
é
Logo
Esses dois vetores são linearmente independentes, portanto uma base de
é
Passo 3
Para achar
Daí
. Logo
Uma base de
é
.
Passo 4
A dimensão de
é
(não é todo
), logo
não é sobrejetiva.
O núcleo tem dimensão (não é apenas o vetor zero), logo
não é injetiva.
O núcleo tem dimensão
Passo 5
Como
não é bijetiva, não existe transformação inversa
definida em todo
.
Resposta
a. Uma base de
é
.
b. Uma base de é
.
c. não é sobrejetiva e não é injetiva.
d. Não existe (pois
não é bijetiva).
b. Uma base de
c.
d. Não existe