Questão 2: Considere a transformação linear T: R^{2} \rightarrow R^{2} dada por T(x, y)=(2 x-y, x-y).
a. Determine uma base da imagem de T.
b. Determine uma base do núcleo de T.
c. T é sobrejetiva? É injetiva?
d. Determine, caso exista, T^{-1}.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
\displaystyle T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 por
T(x,y)=(2x-y,\;x-y).
Pede-se:
– base de \Im(T);
– base de \Ker(T);
– verificar se T é injetiva e/ou sobrejetiva;
–, se existir, encontrar T^{-1}.
Vamos usar a matriz associada à base canônica, o cálculo de posto e nulidade e a inversão de matrizes 2\times2.

Passo 2

A matriz de T na base canônica é
A=\begin{pmatrix}2 & -1\\\ 1 & -1\end{pmatrix}.
As colunas são
T(1,0)=(2,1) \quad\text{e}\quad T(0,1)=(-1,-1).
Calculamos o determinante:
\det(A)=2\cdot(-1)-1\cdot(-1)=-2+1=-1\neq0.
Como \det(A)\neq0, as colunas são independentes e
\Im(T)=\Span\{(2,1),\,(-1,-1)\}=\mathbb{R}^2.
Portanto \{(2,1),(-1,-1)\} é uma base de \Im(T).

Passo 3

Para \Ker(T)\) resolvemos \[T(x,y)=(2x-y,x-y)=(0,0),
isto é o sistema
\begin{cases} 2x - y = 0,\\\ x - y = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem y=x\]. Substituindo na primeira dá \(2x-x=0\implies x=0, logo y=0.
Assim
\Ker(T)=\{(0,0)\},
o espaço trivial, cuja base é o conjunto vazio.

Passo 4

Pelo Teorema da Dimensão,
\dim\Im(T)=2 e \dim\Ker(T)=0.
Como \dim\Im(T)=2=\dim\mathbb{R}^2, T é sobrejetiva.
Como \Ker(T)=\{0\}, T é injetiva.
Logo T é bijetiva.

Passo 5

Sendo bijetiva, T admite inversa T^{-1}. A inversa da matriz A é
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix}-1 & 1\\\ -1 & 2\end{pmatrix} =-\begin{pmatrix}-1 & 1\\\ -1 & 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 1 & -2\end{pmatrix}.
Logo, para (u,v)\in\mathbb{R}^2,
T^{-1}(u,v)=(u - v,\;u - 2v).

Resposta

a. Uma base de \Im(T) é \{(2,1),\,(-1,-1)\}.
b. \Ker(T)=\{(0,0)\}, base vazia.
c. T é injetiva e sobrejetiva.
d. Para (u,v),
T^{-1}(u,v)=(u-v,\;u-2v).

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