Questão 2: Considere a transformação linear
dada por
.
a. Determine uma base da imagem de
.
b. Determine uma base do núcleo de
.
c. T é sobrejetiva? É injetiva?
d. Determine, caso exista,
.
a. Determine uma base da imagem de
b. Determine uma base do núcleo de
c. T é sobrejetiva? É injetiva?
d. Determine, caso exista,
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
por
Pede-se:
– base de ;
– base de ;
– verificar se é injetiva e/ou sobrejetiva;
–, se existir, encontrar .
Vamos usar a matriz associada à base canônica, o cálculo de posto e nulidade e a inversão de matrizes .
– base de
– base de ;
– verificar se
–, se existir, encontrar
Vamos usar a matriz associada à base canônica, o cálculo de posto e nulidade e a inversão de matrizes
Passo 2
A matriz de
na base canônica é
As colunas são
Calculamos o determinante:
Como
, as colunas são independentes e
Portanto
é uma base de
.
Passo 3
Para
isto é o sistema
Da segunda equação vem
, logo
.
Assim
o espaço trivial, cuja base é o conjunto vazio.
Passo 4
Pelo Teorema da Dimensão,
e
.
Como ,
é sobrejetiva.
Como , é injetiva.
Logo é bijetiva.
Como
Como ,
Logo
Passo 5
Sendo bijetiva,
admite inversa
. A inversa da matriz
é
Logo, para
,
Resposta
a. Uma base de
é
.
b. , base vazia.
c. é injetiva e sobrejetiva.
d. Para ,
b. , base vazia.
c.
d. Para