Resolva os seguintes problemas, aplicando o Teste da Série Alternada ou o Teste da Divergência quando apropriado. Mostre todos os cálculos intermediários e justifique suas respostas.
Analise a convergência da série \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{1}{\ln n}.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série \r
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{1}{\ln n}. \r
O conteúdo principal aqui é o Teste da Série Alternada (Teste de Leibniz) e, quando cabível, o Teste da Divergência e o estudo de convergência absoluta. Para aplicar o teste alternado, vamos precisar verificar que \r
1. \displaystyle a_n=\tfrac{1}{\ln n} é decrescente para n\ge2, \r
2. \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0.

Passo 2

Verificamos primeiro o Teste da Divergência: precisamos que o termo geral da série alternating seja nulo em limite infinito. Calculamos \r
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\ln n} = 0. \r
Como o limite é zero, a série pode convergir (não é descartada pelo teste da divergência).

Passo 3

Agora mostramos que a_n=\tfrac{1}{\ln n} é decrescente para n\ge2. Considere a função contínua f(x)=\tfrac{1}{\ln x} para x>1. Seu derivada é \r
\;f'(x) = -\frac{1}{x\,(\ln x)^2} < 0\quad\text{para todo }x>1. \r
Isso prova que f é estritamente decrescente em (1,\infty), logo a sequência a_n=f(n) também é decrescente para n\ge2.

Passo 4

Como \r
1. a_n é positiva e decrescente, \r
2. \lim_{n\to\infty}a_n=0, \r
pelo Teste de Leibniz a série \r
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n+1}a_n \r
converge.

Passo 5

Para verificar convergência absoluta, analisamos \r
\sum_{n=2}^{\infty}\biggl|\;(-1)^{n+1}\,\frac{1}{\ln n}\biggr| = \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\ln n}. \r
Usamos o Teste de Condensação de Cauchy: como \{1/\ln n\} é decrescente, a série converge ou diverge junto com \r
\sum_{k=1}^{\infty}2^k \,a_{2^k} = \sum_{k=1}^{\infty}2^k\;\frac{1}{\ln(2^k)} = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^k}{k\ln2}. \r
Mas \displaystyle\frac{2^k}{k\ln2} cresce geometricamente (razão ~ 2) e, portanto, essa soma diverge. Assim \r
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\ln n} \r
diverge, mostrando que a série original não converge absolutamente.

Passo 6

Concluímos que a série \r
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{1}{\ln n} \r
converge pelo Teste da Série Alternada, mas diverge em valor absoluto.

Resposta

A série converge condicionalmente.

Exercícios relacionados