Questão 4: Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por
T(x, y, z)=(3 x+y,-2 x-4 y+3 z, 5 x+4 y-2 z) .
(a) (1,0 ponto) Mostre que T é um isomorfismo.
(b) (1,0 ponto) Determine T^{-1} e \left[T^{-1}\right].

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\quad T(x,y,z) = (3x+y,\,-2x-4y+3z,\;5x+4y-2z).
O conteúdo é determinar se T é um isomorfismo (isto é, bijetora linear) e, em caso afirmativo, encontrar T^{-1} e sua matriz na base canônica. Para isso vamos: (1) escrever a matriz de T em relação à base canônica, (2) calcular o determinante para checar invertibilidade, (3) obter a inversa dessa matriz e com ela a fórmula de T^{-1}.

Passo 2

Em coordenadas canônicas, a matriz de T é
A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\\\ -2 & -4 & 3\\\\ 5 & 4 & -2 \end{pmatrix},
pois
T(x,y,z) = A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o determinante de A:
\det(A) = 3\det\begin{pmatrix}-4 & 3\\\ 4 & -2\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}-2 & 3\\\ 5 & -2\end{pmatrix} +0\cdot\bigl(\dots\bigr).
Temos
\det\begin{pmatrix}-4 & 3\\\ 4 & -2\end{pmatrix} =(-4)(-2)-3\cdot4=8-12=-4,
\det\begin{pmatrix}-2 & 3\\\ 5 & -2\end{pmatrix} =(-2)(-2)-3\cdot5=4-15=-11.
Logo
\det(A)=3\cdot(-4)-1\cdot(-11)=-12+11=-1\neq0.
Como \det(A)\neq0, A é invertível e, portanto, T é um isomorfismo.

Passo 4

Para obter A^{-1}, usamos a fórmula A^{-1}=\frac1{\det(A)}\operatorname{adj}(A). Calculando a matriz dos cofatores e transpondo, chega-se a
\operatorname{adj}(A) =\begin{pmatrix} -4 & 2 & 3\\\\ 11 & -6 & -9\\\\ 12 & -7 & -10 \end{pmatrix}.
Como \det(A)=-1,
A^{-1} = -1\cdot\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix} 4 & -2 & -3\\\\ -11 & 6 & 9\\\\ -12 & 7 & 10 \end{pmatrix}.

Passo 5

A partir de A^{-1}, para (u,v,w)\in\mathbb{R}^3 temos
T^{-1}(u,v,w) = A^{-1}\begin{pmatrix}u\v\w\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4u-2v-3w\\\\ -11u+6v+9w\\\\ -12u+7v+10w \end{pmatrix}.

Passo 6

Portanto, a matriz de T^{-1} na base canônica é
[T^{-1}] = A^{-1} = \begin{pmatrix} 4 & -2 & -3\\\\ -11 & 6 & 9\\\\ -12 & 7 & 10 \end{pmatrix}.

Resposta

a) T é um isomorfismo pois \det(A)=-1\neq0.
b)
T^{-1}(u,v,w) = (4u-2v-3w,\,-11u+6v+9w,\,-12u+7v+10w),
[T^{-1}] = \begin{pmatrix} 4 & -2 & -3\\\\ -11 & 6 & 9\\\\ -12 & 7 & 10 \end{pmatrix}.

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