Verificar quais subconjuntos do R^{3} são subespaços vetoriais.
S=\{(y, y, z) / x+y+z=0\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = \{(y,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid x+y+z=0\}
é um subespaço de \mathbb{R}^3. Note que aqui a primeira coordenada x é igual a y, logo o vetor genérico em S pode ser escrito como (y,y,z) sujeito à condição
x+y+z = y + y + z = 2y + z = 0.
Para mostrar que S é subespaço, precisamos checar três propriedades:
  1. 0\in S.
  2. fechadura em soma de vetores.
  3. fechadura em multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos 0\in S. O vetor nulo em \mathbb{R}^3 é (0,0,0). Substituindo y=0 e z=0 na condição 2y+z=0 obtemos
2\cdot 0 + 0 = 0,
logo (0,0,0)\in S.

Passo 3

Mostramos fechadura em soma. Tomemos
v_1=(y_1,y_1,z_1)\in S,\quad v_2=(y_2,y_2,z_2)\in S,
com 2y_1+z_1=0 e 2y_2+z_2=0. Então
v_1+v_2 = (y_1+y_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
Para verificar que v_1+v_2\in S, calculemos
2(y_1+y_2) + (z_1+z_2) = (2y_1+z_1) + (2y_2+z_2) = 0 + 0 = 0.
Logo v_1+v_2 satisfaz a condição e pertence a S.

Passo 4

Mostramos fechadura em produto por escalar. Seja \lambda\in\mathbb{R} e v=(y,y,z)\in S com 2y+z=0. Então
\lambda v = (\lambda y,\;\lambda y,\;\lambda z).
Verificamos
2(\lambda y) + (\lambda z) = \lambda\,(2y+z) = \lambda \cdot 0 = 0,
logo \lambda v\in S.

Passo 5

Como S contém o vetor zero, é fechado em soma e em multiplicação por escalar, concluímos que S é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3. Ademais, parametrizando pela coordenada y, da condição z=-2y segue
(y,y,z) = (y,y,-2y) = y\,(1,1,-2),
isto é,
S = \operatorname{Span}\{(1,1,-2)\}
é um subespaço de dimensão 1.

Resposta

O conjunto S é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3, com
S = \operatorname{Span}\{(1,1,-2)\}.

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