Questão 2:
Determine a dimensão do espaço vetorial de todos os polinômios p de grau menor ou igual a 4 tais que $p(1)=0.

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do espaço vetorial formado por todos os polinômios p de grau \le4 que satisfazem a condição p(1)=0. O conteúdo é teoria de espaços vetoriais de polinômios e subespaços definidos por condições lineares.

Passo 2

O espaço de todos os polinômios de grau \le4, denotado por P_4, tem dimensão igual ao número de coeficientes independentes, ou seja,
\dim(P_4)=5,
com base típica \{1,x,x^2,x^3,x^4\}.

Passo 3

A condição p(1)=0 impõe uma única equação linear sobre os coeficientes de p. Trata-se de um funcional linear não trivial em P_4, logo o subconjunto
\{\,p\in P_4\mid p(1)=0\}
é um subespaço de codimensão 1 em P_4.

Passo 4

Como a codimensão é 1, a dimensão do subespaço é
\dim(P_4)-1 = 5 - 1 = 4.

Resposta

A dimensão desse espaço vetorial é 4.

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