Verifique quais matrizes são diagonalizáveis, determinando os autovalores( as raízes do polinômio, característico \left.p_{A}(\lambda)=\operatorname{det}(A-\lambda I)\right) e os autovetores associados ([A-\lambda I] v=0)
A=\left[\begin{array}{ll}3 & 2 \\\\ 5 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix}3 & 2 \\[6pt]5 & 0\end{pmatrix}
é diagonalizável. Para isso vamos usar o conceito de autovalor e autovetor: os autovalores são as raízes do polinômio característico
p_{A}(\lambda) = \det\bigl(A - \lambda I\bigr),
e para cada autovalor \lambda calculamos o espaço nulo de A - \lambda I para encontrar os autovetores. Se conseguirmos dois autovetores linearmente independentes (no caso de uma matriz 2\times2), então A é diagonalizável.]

Passo 2

Vamos montar o polinômio característico:
p_{A}(\lambda) = \det\!\begin{pmatrix}3-\lambda & 2 \\[4pt]5 & -\lambda\end{pmatrix} = (3-\lambda)(-\,\lambda) - 5\cdot 2 = -3\lambda + \lambda^2 - 10 = \lambda^2 - 3\lambda - 10.]

Passo 3

Para achar os autovalores, resolvemos
\lambda^2 - 3\lambda - 10 = 0.
Usando a fórmula de Bhaskara:
\lambda = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}.
Logo os autovalores são
\lambda_1 = \frac{3+7}{2} = 5, \quad \lambda_2 = \frac{3-7}{2} = -2.

Passo 4

Agora determinamos os autovetores resolvendo (A - \lambda I)v = 0 para cada caso.
Para \lambda_1 = 5:
A - 5I = \begin{pmatrix}3-5 & 2 \\[4pt]5 & -5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & 2 \\[4pt]5 & -5\end{pmatrix}.
A equação (A-5I)\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=\mathbf{0}
-2x + 2y = 0 \;\Longrightarrow\; y = x.
Um autovetor associado é, por exemplo,
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.
Para \lambda_2 = -2:
A + 2I = \begin{pmatrix}3+2 & 2 \\[4pt]5 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 & 2 \\[4pt]5 & 2\end{pmatrix}.
Da equação (A+2I)\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=\mathbf{0} vem
5x + 2y = 0 \;\Longrightarrow\; y = -\tfrac{5}{2}x.
Um autovetor conveniente é
v_2 = \begin{pmatrix}2\\\ -5\end{pmatrix}.]

Passo 5

Como obtivemos dois autovalores distintos \lambda_1=5 e \lambda_2=-2, cada um com um autovetor não-nulo e esses autovetores \{v_1,v_2\} são linearmente independentes em \mathbb{R}^2, concluímos que A é diagonalizável.

Resposta

A matriz A é diagonalizável.
Seus autovalores e autovetores (não normalizados) são: \lambda_1 = 5 com v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}, \lambda_2 = -2 com v_2 = \begin{pmatrix}2\\\ -5\end{pmatrix}.

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