Verifique quais matrizes são diagonalizáveis, determinando os autovalores( as raízes do polinômio, característico \left.p_{A}(\lambda)=\operatorname{det}(A-\lambda I)\right) e os autovetores associados ([A-\lambda I] v=0) A=\left[\begin{array}{ll}3 & 2 \\\\ 5 & 0\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix}3 & 2 \\[6pt]5 & 0\end{pmatrix}
é diagonalizável. Para isso vamos usar o conceito de autovalor e autovetor: os autovalores são as raízes do polinômio característico
p_{A}(\lambda) = \det\bigl(A - \lambda I\bigr),
e para cada autovalor \lambda calculamos o espaço nulo de A - \lambda I para encontrar os autovetores. Se conseguirmos dois autovetores linearmente independentes (no caso de uma matriz 2\times2), então A é diagonalizável.]
Da equação (A+2I)\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=\mathbf{0} vem
5x + 2y = 0 \;\Longrightarrow\; y = -\tfrac{5}{2}x.
Um autovetor conveniente é
v_2 = \begin{pmatrix}2\\\ -5\end{pmatrix}.]
Passo 5
Como obtivemos dois autovalores distintos \lambda_1=5 e \lambda_2=-2, cada um com um autovetor não-nulo e esses autovetores \{v_1,v_2\} são linearmente independentes em \mathbb{R}^2, concluímos que A é diagonalizável.
Resposta
A matriz A é diagonalizável.
Seus autovalores e autovetores (não normalizados) são: \lambda_1 = 5 com v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}, \lambda_2 = -2 com v_2 = \begin{pmatrix}2\\\ -5\end{pmatrix}.