Questão 3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma aplicação dada por T(x, y)=(2 x, x-y, 2 y).
(a) ( 1,0 ponto) Mostre que T é uma transformação linear.
(b) (1,0 ponto) Determine [T]_{\beta}^{\alpha}, onde \alpha=\{(1,1),(0,2)\} e \beta=\{(1,0,1),(0,1,0),(1,2,0)\} são bases de \mathbb{R}^{2} e \mathbb{R}^{3}, respectivamente.
(c) ( 0,5 pontos) Determine o núcleo de T.

Passo 1

O enunciado define T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 por
T(x,y)=(2x,\;x-y,\;2y)
e pede:
– (a) mostrar que T é linear;
– (b) calcular a matriz [T]_{\beta}^{\alpha} em relação às bases \alpha=\{(1,1),(0,2)\} de \mathbb{R}^2 e \beta=\{(1,0,1),(0,1,0),(1,2,0)\} de \mathbb{R}^3;
– (c) determinar \ker(T).
Para isso usaremos: definição de transformação linear, coordenadas de vetores em bases dadas e sistema para o núcleo.

Passo 2

Para mostrar que T é linear, verificamos as duas propriedades:
  1. Aditividade. Se u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2), então
T(u+v)=T(x_1+x_2,\;y_1+y_2) =(2(x_1+x_2),\;(x_1+x_2)-(y_1+y_2),\;2(y_1+y_2))
=(2x_1,\,x_1-y_1,\,2y_1)+(2x_2,\,x_2-y_2,\,2y_2) =T(u)+T(v).
  1. Homogeneidade. Para escalar \lambda\in\mathbb{R} e u=(x,y),
T(\lambda u)=T(\lambda x,\lambda y)=(2\lambda x,\;\lambda x-\lambda y,\;2\lambda y) =\lambda\,(2x,\,x-y,\,2y)=\lambda\,T(u).
Logo, T satisfaz T(u+v)=T(u)+T(v) e T(\lambda u)=\lambda T(u), isto é, é linear.

Passo 3

Para [T]_{\beta}^{\alpha}\) computamos as imagens dos vetores de \(\alpha\) e expressamos em \(\beta\). 1. Primeiro vetor de \(\alpha\): \(a_1=(1,1)\). \[T(1,1)=(2,\,1-1=0,\,2)= (2,0,2).
Queremos c_1,b_2,c_3 tais que
c_1(1,0,1)+c_2(0,1,0)+c_3(1,2,0)=(2,0,2).
Isto gera o sistema
\begin{cases} c_1+c_3=2,\\\ c_2+2c_3=0,\\\ c_1=2. \end{cases}
Da terceira equação vem c_1=2\], então \[c_3=0 e c_2=0. Logo as coordenadas de T(a_1) em \beta são (2,0,0).
  1. Segundo vetor de \alpha: a_2=(0,2).
T(0,2)=(0,\;0-2=-2,\;4)=(0,-2,4).
Procuramos (d_1,d_2,d_3) com
d_1(1,0,1)+d_2(0,1,0)+d_3(1,2,0)=(0,-2,4),
isto é
\begin{cases} d_1+d_3=0,\\\ d_2+2d_3=-2,\\\ d_1=4. \end{cases}
Da última equação d_1=4\], daí \(d_3=-4 e d_2=6. Assim as coordenadas de T(a_2) em \beta são (4,6,-4).
Portanto, em relação às bases \alpha e \beta, a matriz de T é
[T]_{\beta}^{\alpha} =\begin{pmatrix} 2 & 4\\\\ 0 & 6\\\\ 0 & -4 \end{pmatrix},
cujas colunas são as coordenadas de T(a_1) e T(a_2).

Passo 4

Para achar \ker(T)\), resolvemos \(T(x,y)=(0,0,0)\): \[(2x,\;x-y,\;2y)=(0,0,0) \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} 2x=0\;\Rightarrow\;x=0,\\\\ 2y=0\;\Rightarrow\;y=0,\\\ x-y=0\;\text{(automático)}. \end{cases}
Logo o único vetor no núcleo é (0,0)\], ou seja, \(\ker(T)=\{(0,0)\}.

Resposta

(a) T é linear, pois preserva soma e escalar.
(b)
[T]_{\beta}^{\alpha} =\begin{pmatrix} 2 & 4\\\\ 0 & 6\\\\ 0 & -4 \end{pmatrix}.
(c) \ker(T)=\{(0,0)\}.

Exercícios relacionados