Questão 3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma aplicação dada por T(x, y)=(2 x, x-y, 2 y).
(a) ( 1,0 ponto) Mostre que T é uma transformação linear.
(b) (1,0 ponto) Determine [T]_{\beta}^{\alpha}, onde \alpha=\{(1,1),(0,2)\} e \beta=\{(1,0,1),(0,1,0),(1,2,0)\} são bases de \mathbb{R}^{2} e \mathbb{R}^{3}, respectivamente.
(c) ( 0,5 pontos) Determine o núcleo de T.
Passo 1
O enunciado define T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 por
T(x,y)=(2x,\;x-y,\;2y)
e pede:
– (a) mostrar que T é linear;
– (b) calcular a matriz [T]_{\beta}^{\alpha} em relação às bases \alpha=\{(1,1),(0,2)\} de \mathbb{R}^2 e \beta=\{(1,0,1),(0,1,0),(1,2,0)\} de \mathbb{R}^3;
– (c) determinar \ker(T).
Para isso usaremos: definição de transformação linear, coordenadas de vetores em bases dadas e sistema para o núcleo.
Passo 2
Para mostrar que T é linear, verificamos as duas propriedades:
Logo, T satisfaz T(u+v)=T(u)+T(v) e T(\lambda u)=\lambda T(u), isto é, é linear.
Passo 3
Para [T]_{\beta}^{\alpha}\) computamos as imagens dos vetores de \(\alpha\) e expressamos em \(\beta\).
1. Primeiro vetor de \(\alpha\): \(a_1=(1,1)\).
\[T(1,1)=(2,\,1-1=0,\,2)= (2,0,2).