Questão 4: Determine a regra de T: R^{2} \rightarrow R^{3}, onde a matriz de T em relação às bases canônicas de R^{2} e R^{3} é
\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\\\ 2 & 3 \\\\ -1 & 2 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado apresenta a transformação linear T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 cuja matriz em relação às bases canônicas de \mathbb{R}^2 e \mathbb{R}^3 é
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 2 & 3 \\\\ -1 & 2 \end{pmatrix}.
Para obter a regra de T, basta usar a definição de transformação linear dada por multiplicação de matriz:
T(\mathbf{v}) = A\,\mathbf{v}.

Passo 2

Seja \mathbf{v}=(x,y)\in\mathbb{R}^2. Em coordenadas coluna, temos
\mathbf{v} = \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.

Passo 3

Aplicando T(\mathbf{v}) = A\,\mathbf{v}, calculamos
A\,\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 2 & 3 \\\\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot x + 0\cdot y\\\\ 2\cdot x + 3\cdot y\\\\ -1\cdot x + 2\cdot y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\\\ 2x + 3y\\\\ -\,x + 2y \end{pmatrix}.

Resposta

T(x,y) = \bigl(x,\;2x + 3y,\;-x + 2y\bigr).

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