Questão 4: Determine a regra de T: R^{2} \rightarrow R^{3}, onde a matriz de T em relação às bases canônicas de R^{2} e R^{3} é \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\\\ 2 & 3 \\\\ -1 & 2 \end{array}\right) Passo 1O enunciado apresenta a transformação linear T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 cuja matriz em relação às bases canônicas de \mathbb{R}^2 e \mathbb{R}^3 é A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 2 & 3 \\\\ -1 & 2 \end{pmatrix}. Para obter a regra de T, basta usar a definição de transformação linear dada por multiplicação de matriz: T(\mathbf{v}) = A\,\mathbf{v}. Passo 2Seja \mathbf{v}=(x,y)\in\mathbb{R}^2. Em coordenadas coluna, temos \mathbf{v} = \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}. Passo 3Aplicando T(\mathbf{v}) = A\,\mathbf{v}, calculamos A\,\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 2 & 3 \\\\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot x + 0\cdot y\\\\ 2\cdot x + 3\cdot y\\\\ -1\cdot x + 2\cdot y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\\\ 2x + 3y\\\\ -\,x + 2y \end{pmatrix}. Resposta T(x,y) = \bigl(x,\;2x + 3y,\;-x + 2y\bigr). MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosQuestão 3: Considere a transformação linear T: R^{3} \rightarrow R^{3} dada por T(x, y, z)=(x+y, x+y, 3 z). a. Determine uma base da imagem de T. b. Determine uma base do núcleo de T. c. T é sobrejetiva? É injetiva? d. Determine, caso exista, T^{-1}. Questão 2: Considere a transformação linear T: R^{2} \rightarrow R^{2} dada por T(x, y)=(2 x-y, x-y). a. Determine uma base da imagem de T. b. Determine uma base do núcleo de T. c. T é sobrejetiva? É injetiva? d. Determine, caso exista, T^{-1}. Questão 6: Determine uma transformação linear T: R^{3} \rightarrow R^{3} bijetora tal que T(1,0,0)=(2,3,-1) e T(1,1,0)=(2,2,1). Questão 7: Existe transformação linear T: R^{3} \rightarrow R^{3} tal que T(1,1,1)=(2,1,-1), T(2,0,1)=(3,3,2) e T(1,-1,0)=(1,2,1)