Questão 6: Determine uma transformação linear T: R^{3} \rightarrow R^{3} bijetora tal que T(1,0,0)=(2,3,-1) e T(1,1,0)=(2,2,1).

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear bijetora
T:\mathbb R^3\to\mathbb R^3
que satisfaça
T(1,0,0)=(2,3,-1)\quad\text{e}\quad T(1,1,0)=(2,2,1).
Como uma transformação linear é determinada pelas imagens de uma base de \mathbb R^3, vamos usar a base canônica
\{e_1,e_2,e_3\}, onde e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0) e e_3=(0,0,1).

Passo 2

Já sabemos
T(e_1)=T(1,0,0)=(2,3,-1).
Para encontrar T(e_2), note que
T(1,1,0)=T(e_1+e_2)=T(e_1)+T(e_2)=(2,3,-1)+T(e_2)
de modo que
T(e_2)=T(1,1,0)-T(e_1)=(2,2,1)-(2,3,-1)=(0,-1,2).

Passo 3

Precisamos ainda escolher T(e_3) de forma que \{T(e_1),T(e_2),T(e_3)\} seja uma base de \mathbb R^3, garantindo bijetividade. Uma escolha simples é
T(e_3)=(0,0,1).
Verificamos que os vetores
(2,3,-1), (0,-1,2) e (0,0,1) têm determinante da matriz formada por eles diferente de zero, logo são linearmente independentes.

Passo 4

Como toda (x,y,z)\in\mathbb R^3 se escreve
(x,y,z)=x\,e_1+y\,e_2+z\,e_3, a aplicação linear fica
T(x,y,z) =x\,T(e_1)+y\,T(e_2)+z\,T(e_3) =x\,(2,3,-1)+y\,(0,-1,2)+z\,(0,0,1).
Em componentes:
T(x,y,z) =\bigl(2x,\;3x-y,\;-x+2y+z\bigr).

Resposta

Uma transformação que funciona é
T(x,y,z)=\bigl(2x,\;3x-y,\;-x+2y+z\bigr).

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