Questão 7: Existe transformação linear T: R^{3} \rightarrow R^{3} tal que T(1,1,1)=(2,1,-1), T(2,0,1)=(3,3,2) e T(1,-1,0)=(1,2,1)

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos saber se existe transformação linear T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 que satisfaça
T(1,1,1)=(2,1,-1),\quad T(2,0,1)=(3,3,2),\quad T(1,-1,0)=(1,2,1).
Para isso, usaremos a propriedade de linearidade e verificaremos se há alguma relação linear entre esses vetores de domínio que imponha uma condição sobre as imagens.

Passo 2

Denotemos
v_1=(1,1,1),\quad v_2=(2,0,1),\quad v_3=(1,-1,0).
Observamos que
v_1 + v_3 = (1,1,1)+(1,-1,0) = (2,0,1) = v_2.
Logo existe a relação linear não trivial
v_2 = v_1 + v_3.

Passo 3

Pela linearidade de T, teríamos
T(v_2) = T(v_1 + v_3) = T(v_1) + T(v_3).
Substituindo os valores dados:
T(v_1) + T(v_3) = (2,1,-1) + (1,2,1) = (3,3,0).

Passo 4

Porém o enunciado exige que
T(v_2) = (3,3,2),
o que contradiz o valor (3,3,0) obtido pela linearidade.

Resposta

Não existe tal transformação linear.

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