Questão 1: Considere as transformações lineares F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} e T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dadas por F(x, y)=(2 x, x+y, x-y) e T(x, y, z)=(x+y, x+y+z).
a. Determine T \circ F
b. Determine F \circ T
c. Determine (T \circ F)^{-1}

Passo 1

O enunciado define as transformações lineares
\displaystyle F\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3, \,F(x,y)=(2x,\;x+y,\;x-y),
\displaystyle T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2, \,T(x,y,z)=(x+y,\;x+y+z).
Pede-se calcular as composições T\circ F e F\circ T e, em seguida, inverter o mapa T\circ F.
O conteúdo envolvido é composição de aplicações lineares e inversão de um mapa linear em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Para obter (T\circ F)(x,y) aplicamos primeiro F e depois T:
F(x,y) = (2x,\;x+y,\;x-y),
T\bigl(2x,\;x+y,\;x-y\bigr) =\bigl(2x+(x+y),\;2x+(x+y)+(x-y)\bigr).
Calculando cada coordenada:
2x+(x+y)=3x+y,\qquad 2x+(x+y)+(x-y)=4x.
Logo
(T\circ F)(x,y)=(3x+y,\;4x).

Passo 3

Para (F\circ T)(x,y,z) aplicamos primeiro T e depois F:
T(x,y,z) = (x+y,\;x+y+z).
Chamando (u,v)=T(x,y,z), temos u=x+y, v=x+y+z, e
F(u,v) = \bigl(2u,\;u+v,\;u-v\bigr).
Substituindo u e v:
2u = 2(x+y),\quad u+v = (x+y)+(x+y+z)=2x+2y+z,\quad u-v = (x+y)-(x+y+z)=-z.
Portanto
(F\circ T)(x,y,z)=\bigl(2x+2y,\;2x+2y+z,\;-z\bigr).

Passo 4

Observamos que T\circ F é um mapa de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^2 dado por
(x,y)\mapsto (3x+y,\;4x).
O jacobiano (matriz) é
A=\begin{pmatrix}3 & 1\\\ 4 & 0\end{pmatrix},
com determinante
\det A = 3\cdot0 - 1\cdot4 = -4 \neq 0.
Logo T\circ F é invertível.

Passo 5

Para achar (T\circ F)^{-1}, escrevamos
(u,v)=(3x+y,\;4x).
Da segunda equação vem x = v/4. Substituindo na primeira:
u = 3\,(v/4) + y \;\Longrightarrow\; y = u - \tfrac{3v}{4}.
Portanto a inversa é
(T\circ F)^{-1}(u,v) =\Bigl(\tfrac{v}{4},\;u - \tfrac{3v}{4}\Bigr).

Resposta

a) (T\circ F)(x,y) = (3x+y,\;4x).
b) (F\circ T)(x,y,z) = (2x+2y,\;2x+2y+z,\;-z).
c) (T\circ F)^{-1}(u,v) = \bigl(\tfrac{v}{4},\;u - \tfrac{3v}{4}\bigr).

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