Questão 1: Considere as transformações lineares
e
dadas por
e
.
a. Determine
b. Determine
c. Determine
a. Determine
b. Determine
c. Determine
Passo 1
O enunciado define as transformações lineares
,
,
,
.
Pede-se calcular as composições e
e, em seguida, inverter o mapa
.
O conteúdo envolvido é composição de aplicações lineares e inversão de um mapa linear em .
Pede-se calcular as composições
O conteúdo envolvido é composição de aplicações lineares e inversão de um mapa linear em
Passo 2
Para obter
aplicamos primeiro
e depois
:
Calculando cada coordenada:
Logo
Passo 3
Para
aplicamos primeiro
e depois
:
Chamando
, temos
,
, e
Substituindo
e
:
Portanto
Passo 4
Observamos que
é um mapa de
em
dado por
O jacobiano (matriz) é
com determinante
Logo
é invertível.
Passo 5
Para achar
, escrevamos
Da segunda equação vem
. Substituindo na primeira:
Portanto a inversa é
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)