Questão 2: Considere as transformações lineares F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} e T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dadas por F(x, y, z)=(2 x-y, x+2 y, x-z) e T(x, y, z)=(x+y, x+y+z, 3 z). Determine 2 F-T.

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares F e T em \mathbb{R}^3 e pede a combinação linear 2F - T. Isso requer usar a propriedade de que, para toda (x,y,z),
(2F - T)(x,y,z) \;=\; 2\,F(x,y,z)\;-\;T(x,y,z)\,.

Passo 2

Calculemos primeiro 2\,F(x,y,z). Como
F(x,y,z) = (2x - y,\; x + 2y,\; x - z),
temos
2\,F(x,y,z) = \bigl(2(2x - y),\;2(x + 2y),\;2(x - z)\bigr) = (4x - 2y,\;2x + 4y,\;2x - 2z).

Passo 3

Agora subtraímos T(x,y,z). Como
T(x,y,z) = (x + y,\; x + y + z,\; 3z),
segue que
(2F - T)(x,y,z) = (4x - 2y,\;2x + 4y,\;2x - 2z) \;-\;(x + y,\; x + y + z,\; 3z).
Fazendo a subtração componente a componente:
\begin{aligned} \text{1ª comp.}&: 4x - 2y - (x + y) = 3x - 3y,\\\ \text{2ª comp.}&: 2x + 4y - (x + y + z) = x + 3y - z,\\\ \text{3ª comp.}&: 2x - 2z - 3z = 2x - 5z. \end{aligned}ªªª

Resposta

(2F - T)(x,y,z) = \bigl(3x - 3y,\;x + 3y - z,\;2x - 5z\bigr).

Exercícios relacionados